INSEECom 2002

On considère la matrice carrée réelle d'ordre 3 : A = ( 4 0 2 0 4 2 2 2 2 ) et on note ϕ l'endomorphisme de 3 dont la matrice est A , dans la base canonique = ( e 1 , e 2 , e 3 ) de 3 .

  1. Déterminer le noyeau et l'image de ϕ . En déduire que 0 est valeur proprede ϕ .

    1. Justifier que la matrice A est diagonalisable.

    2. Vérifier que 4 et 6 sont deux valeurs propres de ϕ et déterminer les sous espaces propres associés.

    3. On pose u 1 = e 1 + e 2 + 2 e 3 , u 2 = e 1 + e 2 et u 3 = e 1 e 2 + e 3 ; montrer que = ( u 1 , u 2 , u 3 ) est une base de 3 et déterminer la matrice A de ϕ dans cette base.

  2. Soient α , β et γ trois nombres réels non nuls et P la matrice définie par : P = ( α β γ α β γ 2 α 0 γ )

    1. Montrer en utilisant la question précédente que P est inversible.

    2. On rapelle que pour toute matrice A = ( a i , j ) , on appelle transposée de A , la matrice notée t A défnie par t A = ( a j , i ) , c'est à dire obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A , ainsi t P = ( α α 2 α β β 0 γ γ γ ) .

      calculer le produit P t P et en déduire l'existence de valeurs de α , β et γ telles que t P = P 1

      On se placera dans cette situtation dans la suite de l'exercice.

    3. Justifier que A = P A t P

  3. Soient x , y et z trois réels, on définit les matrices colonnes et lignes respectives : X = ( x y z ) et t X = ( x , y , z ) et on pose g ( x , y , z ) = 4 x 2 + 4 y 2 + 4 x z 4 y z + 2 z 2

    1. Montrer que : t X A X = g ( x , y , z )

    2. Montrer que la transposée de la matrice ( t P X ) est ( t X P )

      On pose t P . X = ( x y z ) ; en déduire que : g ( x , y , z ) = 4 y 2 + 6 z 2

  4. On considère la fonction f : 2 définie par : ( x , y ) 2 , f ( x , y ) = g ( x , y , y 2 )

    1. Expliciter f ( x , y ) et calculer f x ( x , y ) , f y ( x , y ) , 2 f x 2 ( x , y ) , 2 f x y ( x , y ) et 2 f y 2 ( x , y ) .

    2. Déterminer les extremums éventueles de f sur 2 .

    3. Montrer en utilisant la question 4) que ( 0 , 0 ) est un minimum global de f sur 2 .

    4. Montrer que f présente un minimum local en ( 2 , 2 ) .

    5. Des développments limités à l'ordre 2 en 0 de h f ( 1 2 + h , 1 + h ) et

      h f ( 1 2 + h , 1 h ) , déduire que f ne présente pas un extremeum local en ( 1 2 , 1 )

(INSEECom 2002)