ESC 2002

On considère un paramètre réel m , et les matrices suivantes : A m = ( 2 2 2 2 2 + m 2 + m 2 2 m 2 m )     et     I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )

    1. Montrer que A m 2 et A m 3 ne dépendent plus de m , et vérifier que : A m 3 = 2. A m 2 .

    2. On suppose que λ est une valeur propre de A m et que X est un vecteur propre associé à cette valeur propre λ . Montrer que : ( λ 3 2 λ 2 ) X = ( 0 0 0 ) et en déduire que : S p ( A m ) { 0 , 2 } .

  1. Dans cette série de questions on étudie le cas m = 0 et on cherche à diagonaliser A 0 .

    1. Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de A 0 .

    2. Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de A 0 .

    3. Montrer que A 0 est diagonalisable, et donner une matrice carrée inversible Q et une matrice diagonale D = ( α 0 0 0 α 0 0 0 β ) telles que A 0 = Q D Q 1 .

    4. Montrer l'existence de deux réels a et b tels que A 0 2 = a A 0 + b I 3 .

  2. Dans cette série de questions, on suppose que le paramètre m est non nul.
    On note = ( e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de 3 et f m l'endomorphisme de 3 dont la matrice relativement à est A m .

    1. Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de f m .

    2. Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de f m .
      La matrice A m est-elle diagonalisable ?

    3. On pose les vecteurs de 3 : u = e 1 e 2 = ( 1 , 1 , 0 ) ; v = f m ( u ) ; w = e 1 + e 2 e 3 = ( 1 , 1 , 1 ) . Calculer v , f m ( v ) et f m ( w ) .

    4. Montrer que la famille ( u , v , w ) est une base de 3 et former la matrice de l'endomorphisme f m relativement à cette base.

    5. En déduire une matrice carrée inversible P m telle que P m 1 A m P m = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 2 )

    6. Existe-t-il des réels c et d tels que A m 2 = c A m + d I 3 ?