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Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.
On considère les matrices suivantes de 4 ( ) : I = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , J = ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) , K = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) , L = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) On note E l'ensemble des matrices M s'écrivant M = a I + b J + c K + d L , où a , b , c et d décrivent .

    1. On a E = { a I + b J + c K + d L / a , b , c , d } = V e c t ( I , J , K , L ) donc E est un espace vectoriel.

    2. Si a I + b J + c K + d L = 0 alors on trouve dans la ligne 1 a = 0 , b = 0 , c = 0 et d = 0

      Donc la famille ( I , J , K , L ) est libre.

    3. ( I , J , K , L ) est libre et génératrice de E donc est une base de E .

      Donc dim E = 4

    1. On a J 2 = ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = L

      K 2 = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = L

      L 2 = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = I

      J 3 = J 2 J = L J = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) = K

      L 3 = L 2 L = L

      Donc J 2 , K 2 , L 2 , J 3 et L 3 appartiennent à E .

    2. On a alors J K = J J 3 = J 2 J 2 = L 2 = I et K J = J 3 J = I

      K L = K J 2 = K J J = I J = J et L K = J 2 K = J

      J L = J K 2 = J K K = I K = K et L J = K

      donc J K , K J , K L , L K , J L et L J appartiennent aussi à E .

    3. En développant une combinaison linéaire de 2 matrices de E : ( a I + b J + c K + d L ) ( a I + b J + c K + d L ) , on obtient une combinaison linéaire des produits des matrices I , J , K et L , qui sont tous dans E .

      Donc le produit se trouve encore dans E .

    1. L est symétrique donc diagonalisable.

    2. ( L α I ) ( x y z t ) = 0 { α x + z = 0 α y + t = 0 x α z = 0 y α t = 0 ( 1 ) { z = α x t = α y x ( 1 α 2 ) = 0 y ( 1 α 2 ) = 0

      • Si α 1 et α 1 alors ( 1 α 2 ) = 0 Donc ( 1 ) x = y = z = t = 0 et α n'est pas valeur propre de A .

      • Si α = 1 alors ( 1 ) ( 1 ) { z = x t = y donc 1 est valeur propre est son sous-espace propre associé est : 𝒮 1 = V e c t ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 1 ) )

      • Si α = 1 alors ( 1 ) ( 1 ) { z = x t = y donc 1 est valeur propre est son sous-espace propre associé est : 𝒮 1 = V e c t ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 1 ) )

  1. On considère les vecteurs : u 1 = ( 1 1 1 1 ) ; u 2 = ( 1 1 1 1 ) ; u 3 = ( 1 1 1 1 ) ; u 4 = ( 1 1 1 1 )

    1. Si x u 1 + y u 2 + z u 3 + t u 4 = 0 alors { x + y + z + t = 0 x y + z t = 0 x + y z t = 0 x y z + t = 0 L 2 L 1 L 3 L 1 L 4 L 1 donc

      { x + y + z + t = 0 2 y 2 t = 0 2 z 2 t = 0 2 y 2 z = 0 L 4 L 2 et { x + y + z + t = 0 2 y 2 t = 0 2 z 2 t = 0 2 z + 2 t = 0 L 4 L 3 et t = 0 enfin par substitution : x = y = z = 0

      Donc ( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) est libre a 4 vecteurs dans 4 , 1 ( ) de dimension 4. Donc est une base de 4 , 1 ( )

    2. On calcule les produits :

      L u 1 = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 1 1 1 1 ) = u 1 donc u 1 colonne propre associé à la valeur propre 1 et de même

      L u 2 = u 2 associé à 1 ; L u 3 = u 3 et L u 4 = u 4 associés à 1

      J + K = ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 ) et

      ( J + K ) u 1 = 2 u 1 et u 1 est un colonne propre de J + K associé à 2;

      ( J + K ) u 2 = 2 u 2 et u 2 est associé à -2;

      ( J + K ) u 3 = 0 et ( J + K ) u 4 = 2 u 4 donc u 3 et u 4 sont associés à 0;

      1 --- 2
      I I
      4 --- 3
      et A = ( 0 p 1 2 p p p 0 p 1 2 p 1 2 p p 0 p p 1 2 p p 0 )

    3. et A = p ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 ) + ( 1 2 p ) ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = p ( J + K ) + ( 1 2 p ) L

    1. A u 1 = ( p ( J + K ) + ( 1 2 p ) L ) u 1 = p ( J + K ) u 1 + ( 1 2 p ) L u 1 et comme u 1 est colonne propre de J + K et de L alors :

      = 2 p u 1 + ( 1 2 p ) u 1 = u 1

      A u 2 = p ( J + K ) u 2 + ( 1 2 p ) L u 2 = 2 p u 2 + ( 1 2 p ) u 2 = ( 1 4 p ) u 2

      A u 3 = p ( J + K ) u 3 + ( 1 2 p ) L u 3 = ( 1 2 p )    u 3

      A u 4 = p ( J + K ) u 4 + ( 1 2 p ) L u 4 = ( 1 2 p ) u 4

      Donc ( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) est une base de colonnespropres de A et A est diagonalisable.

      Avec P = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 et D = ( 1 0 0 0 0 1 4 p 0 0 0 0 2 p 1 0 0 0 0 2 p 1 ) on a A = P D P 1

    2. P 2 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ) = 4 I

      Donc P ( 1 4 P ) = I et 1 4 P P = I donc P 1 = 1 4 P

    1. On a ( X n = 1 , X n = 2 , X n = 3 , X n = 4 ) qui forme un système complet d'événements donc

      p ( X n + 1 = 1 ) = p ( X n + 1 = 1 / X n = 1 ) p ( X n = 1 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 2 ) p ( X n = 2 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 3 ) p ( X n = 3 ) + p ( X n + 1 = 1 / X n = 4 ) p ( X n = 4 ) = 0 p ( X n = 1 ) + p p ( X n = 2 ) + ( 1 2 p ) p ( X n = 3 ) + p p ( X n = 4 )

      ce qui est bien le produit de la première ligne de A et de la colonne C n

      De même pour les trois autres lignes. Donc C n + 1 = A C n .

    2. Donc la suite C est géométrique matricielle et C n = A n C 0 = ( P D P 1 ) n C 0 = 1 4 P D n P C 0 On a donc, en commençant le produit par la droite (il est 3 fois plus rapide de faire un produit matrice × colonne que matrices × matrice) C n = 1 4 P D n ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 0 0 0 ) = 1 4 P ( 1 0 0 0 0 ( 1 4 p ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n ) ( 1 1 1 1 ) = Comme le point est en 1 à l'instant 0 on a donc :

      C n = 1 4 P D ( p , 1 2 p ) n ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 0 0 0 ) = 1 4 P ( 1 0 0 0 0 ( 1 4 p ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n 0 0 0 0 ( 2 p 1 ) n ) ( 1 1 1 1 ) = 1 4 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 ( 1 4 p ) n ( 2 p 1 ) n ( 2 p 1 ) n ) = 1 4 ( 1 + ( 1 4 p ) n + 2 ( 2 p 1 ) n 1 ( 1 4 p ) n 1 + ( 1 4 p ) n 2 ( 2 p 1 ) n 1 ( 1 4 p ) n ) Et on a finalement p ( X n = 1 ) = 1 4 [ 1 + ( 1 4 p ) n + 2 ( 2 p 1 ) n ] p ( X n = 2 ) = 1 4 [ 1 ( 1 4 p ) n ] p ( X n = 3 ) = 1 4 [ 1 + ( 1 4 p ) n 2 ( 2 p 1 ) n ] p ( X n = 4 ) = 1 4 [ 1 ( 1 4 p ) n ]