EDHEC 2002

Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.
On considère les matrices suivantes de 4 ( ) : I = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , J = ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) , K = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) , L = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) On note E l'ensemble des matrices M s'écrivant M = a I + b J + c K + d L , où a , b , c et d décrivent .

    1. Montrer que E est un espace vectoriel.

    2. Montrer que la famille ( I , J , K , L ) est libre.

    3. Donner la dimension de E.

    1. Montrer, en les calculant explicitement, que J 2 , K 2 , L 2 , J 3 et L 3 appartiennent à E .

    2. En déduire, sans aucun calcul matriciel, que J K , K J , K L , L K , J L et L J appartiennent aussi à E .

    3. Etablir enfin que le produit de deux matrices de E est encore une matrice de E .

    1. Montrer que L est diagonalisable.

    2. Déterminer les valeurs propres de L ainsi que les sous-espaces propres propres associés à ces valeurs propres.

  1. On considère les vecteurs : u 1 = ( 1 1 1 1 ) ; u 2 = ( 1 1 1 1 ) ; u 3 = ( 1 1 1 1 ) ; u 4 = ( 1 1 1 1 )

    1. Montrer que ( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) est une base de 4 , 1 ( ) .

    2. Vérifier que u 1 , u 2 , u 3 et u 4 sont des vecteurs propres de L et J + K .




Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.
Dans cette partie, p désigne un réel de ] 0 , 1 / 2 [ .
Les sommets d'un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1, les diagonales reliant le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets du carré selon le protocole suivant :

On note X n la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se trouve le pion à l'instant n . On a donc X 0 = 1 .

    1. Ecrire la matrice A , carrée d'ordre 4, dont le terme situé à l'intersection de la i e ` m e ligne et de la j e ` m e colonne est égal à la probabilité conditionnelle P ( X n + 1 = i / X n = j ) .

    2. Vérifier que A s'écrit comme combinaison linéaire de J + K et L .

    1. Pour tout i de { 1 , 2 , 3 , 4 } , calculer A u i . En déduire qu'il existe une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que A = P D P 1 . Expliciter D et P .

    2. Calculer P 2 puis en déduire P 1 .

  1. Pour tout entier n de , on pose C n = ( P ( X n = 1 ) P ( X n = 2 ) P ( X n = 3 ) P ( X n = 4 ) ) .

    1. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que C n + 1 = A C n .

    2. En déduire que C n = 1 4 P D n P C 0 , puis donner la loi de probabilité de X n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

(EDHEC 2002)