EDHEC 2002
Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.
On
considère les matrices suivantes de
Montrer que
Montrer que la famille
Donner la dimension de E.
Montrer, en les calculant explicitement, que
En déduire, sans aucun calcul matriciel, que
Etablir enfin que le produit de deux matrices de
Montrer que
Déterminer les valeurs propres de
On considère les vecteurs :
Montrer que
Vérifier que
Partie 2 : étude d'un mouvement
aléatoire.
Dans cette partie,
Les
sommets d'un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle
façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet
2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1,
les diagonales reliant le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet
4.
Un pion se déplace sur les sommets du carré selon le
protocole suivant :
Le pion est sur le sommet 1 au départ.
Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré,
il se déplace à l'instant suivant vers un sommet voisin( relié
par un côté) avec la probabilité
On note
Ecrire la matrice
Vérifier que
Pour tout
Calculer
Pour tout entier
Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que
En déduire que
(EDHEC 2002)