Corrigé EML 1997 par Pierre Veuillez
on a
Remarque : Montrer l'inclusion c'est montrer un ''si...alors''
Si
Donc
Et comme
Finalment, si
On n'a donc plus à résoudre ici
Soit
pour
Donc
La famille étant échelonnée, elle est une base du sous espace
associé à la valeur propre
pour
Donc
Le vecteur étant non nul, il forme une famille libre donc une base de
Comme la somme des dimensions des sosu-espaces propres est 3 alors la matrice
est
Donc
On peut effectuer le calcul
sont encore 3 colonnes propres associés à 3, 0 et 0, qui forment une famille libre.
Donc la formule de changmeent de base nous donne :
On écrit
Donc
et les matrices solution sont
On se ramène au problème précédent :
Soit
Donc les solutions de
On note
Ils forment une famille libre car si
Et
Donc