EML 1997

Soient a , b , c trois reels tous non nuls, et M la matrice carrée d'ordre 3 suivante : M = ( 1 a b a c b a 1 b c c a c b 1 )

    1. Montrer M 2 = 3 M

    2. En déduire que l'ensemble des valeurs propres de M est inclus dans { 0 , 3 } .

    1. Détermmer les valeurs propres de M et, pour chaque valeur propre, une base du sous-espaces propre associe.

    2. La matrice M est-elle diagonalisable ?

    On note : P = ( a a a b b 0 c 0 c ) D = ( 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Q = ( 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 1 c 1 a 1 b 2 c )

    1. Calculer P Q . Montrer que P est inversible. Quel est son inverse ?

    2. Vérifier : M = P D P 1

  1. Déterminer l'ensemble des matrices Y de 3 ( ) telles que D Y Y D = 3 Y

  2. Montrer que l'ensemble des matrices X de 3 ( ) telles que M X X M = 3 X est un espace vectoriel de dimension 2 sur .