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On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes : I = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , K = ( 1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 2 ) Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

    1. On a K 2 = ( 1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 2 ) ( 1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 2 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

    2. Comme K 2 = I on a K ( K ) = I et ( K ) K = I donc K est inversible et En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K 1 .

    3. Si α est une valeur propre de K et que U est une colonne propre (non nulle donc ) associée alors

      K U = α U et K 2 U = K ( K U ) = α K U = α 2 U

      Et comme K 2 = I on a alors : K 2 U = U donc ( α 2 + 1 ) U = 0 et comme U 0 alors α 2 + 1 = 0 ce qui est impossible dans les réels.

      Donc K n'a pas de valeurs propres.

  1. Soient a et b deux nombres réels. On note M la matrice définie par M = a I + b K .

    1. Comme K I = I K = K on peut utliser le binôme et M 2 = ( a I ) 2 + 2 a I b K + ( b K ) 2 = a 2 I + 2 a b K b 2

      D'autre part ( a 2 + b 2 ) I + 2 a M = a 2 I b 2 I + 2 a ( a I + b K ) = a 2 I + 2 a b K b 2

      On a donc bien : M 2 = ( a 2 + b 2 ) I + 2 a M .

    2. Donc si ( a , b ) ( 0 , 0 ) , alors a 2 + b 2 > 0 et on peut alors factoriser la matrice I :

      ( a 2 + b 2 ) I = 2 a M M 2 et I = 1 ( a 2 + b 2 ) ( 2 a I M ) M = M 1 ( a 2 + b 2 ) ( 2 a I M )

      Donc M est inversible et M 1 = 1 ( a 2 + b 2 ) ( 2 a I M )

    3. On reconnait la matrice ( 1 + 2 1 1 3 1 1 + 2 1 2 0 1 2 1 1 1 0 2 + 2 ) = 2 I + K

      Donc avec a = 2 et b = 1 (qui ne sont pas tous deux nuls) c'est une matrice inversible dont l'inverse est :

      M 1 = 1 ( 2 2 + 1 2 ) ( 2 2 I M ) = 1 3 ( 2 I K ) = 1 3 ( 1 + 2 1 1 3 1 1 + 2 1 2 0 1 2 1 1 1 0 2 + 2 )

  2. On note = ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) la base canonique de 4 , et f l'endomorphisme de 4 associé à la matrice K relativement à la base . On considère les quatre éléments suivants de 4 : v 1 = e 1    v 2 = f ( e 1 )    v 3 = e 3    v 4 = f ( e 3 )

    1. On calcule les coordonnées des images via les coordonnées et la matrice de f dans la base canonique.

      v 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 )

      mat ( f ( e 1 ) ) = K ( 1 0 0 0 ) = ( 1 1 0 1 ) donc v 2 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )

      v 3 = ( 0 , 0 , 1 , 0 )

      et mat ( f ( e 3 ) ) = K ( 0 0 1 0 ) = ( 1 1 0 0 ) donc v 4 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) et

      On a donc

      La famille 𝒞 = ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) est donc échelonnée ( à une permutation près) donc elle est libre .

      Comme elle comporte 4 vecteurs de 4 qui est de dimension 4, c'est une base de 4 .

    2. Par définition on a f ( v 1 ) = v 2 , qui a pour coordonnées dans 𝒞 : ( 0 , 1 , 0 , 0 )

      On obtient f ( v 2 ) par sa matrice dans mat ( f ( v 2 ) ) = K mat ( v 2 ) = K 2 mat ( e 1 ) = mat ( e 1 )

      donc f ( v 2 ) = v 1 qui a pour coordonnées dans 𝒞 : ( 1 , 0 , 0 , 0 )

      f ( v 3 ) = v 4 par définition qui a pour coordonnées dans 𝒞 : ( 0 , 0 , 0 , 1 ) et mat ( f ( v 4 ) ) = K 2 mat ( e 3 ) = mat ( e 3 )

      donc f ( v 4 ) = v 3 qui a pour coordonnées dans 𝒞 : ( 0 , 0 , 1 , 0 )

      Donc la matrice de f dans 𝒞 est K = ( 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 )

    3. La matrice de passage P de la base à la base 𝒞 est celle des coordonnées des vecteurs de 𝒞 dans la base soit : P = ( 1 1 0 3 0 1 0 2 0 1 1 1 0 1 0 2 )

    4. On rapelle que K = mat 𝒞 ( f ) = mat 𝒞 ( ) mat ( f ) mat ( 𝒞 ) = P 1 K P

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