(EML 2002)




On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes : I = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , K = ( 1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 2 ) Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

    1. Calculer K 2 .

    2. En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K 1 .

    3. Montrer que la matrice K n'admet aucune valeur propre réelle.

  1. Soient a et b deux nombres réels. On note M la matrice définie par M = a I + b K .

    1. Montrer : M 2 = ( a 2 + b 2 ) I + 2 a M .

    2. En déduire que, si ( a , b ) ( 0 , 0 ) , alors la matrice M est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de I et M .

    3. Application : donner l'inverse de la matrice ( 1 + 2 1 1 3 1 1 + 2 1 2 0 1 2 1 1 1 0 2 + 2 )

  2. On note = ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) la base canonique de 4 , et f l'endomorphisme de 4 associé à la matrice K relativement à la base . On considère les quatre éléments suivants de 4 : v 1 = e 1    v 2 = f ( e 1 )    v 3 = e 3    v 4 = f ( e 3 )

    1. Montrer que la famille 𝒞 = ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) est une base de 4 .

    2. Exprimer f ( v 1 ) , f ( v 2 ) , f ( v 3 ) , f ( v 4 ) en fonction de v 1 , v 2 , v 3 , v 4 et en déduire la matrice K associée à f relativement à la base 𝒞 .

    3. Déterminer la matrice de passage P de la base à la base 𝒞 .

    4. Rappeler l'expression de K en fonction de K , P et P 1 .

(EML 2002)