Corrigé EML 1993 par Pierre Veuillez

f est l'endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique de 3 , notée ( i , j , k ) est A : A = ( 1 0 1 0 1 0 1 2 1 )

    1. Soit α et ( x , y , z ) 3 on recherche les valeurs propres :

      ( f α I d ) ( x , y , z ) = 0 ( A α I ) ( x y z ) = 0 ( 1 ) { ( 1 α ) x z = 0 ( 1 α ) y = 0 x + 2 y + ( 1 α ) z = 0

      • si α = 1 alors ( 1 ) { z = 0 x = 0 et S 1 = { ( 0 , y , 0 ) / y } = V e c t ( 0 , 1 , 0 ) donc 1 est valeur propre de f

      • si α 1 alors ( 1 ) { ( 1 α ) x z = 0 y = 0 x + ( 1 α ) z = 0 ( 2 ) { [ ( 1 α ) 2 1 ] z = 0 y = 0 x = ( 1 α ) z

        On simplifie l'écriture : [ ( 1 α ) 2 1 ] = 2 α + α 2 = α ( α 2 )

        • si de plus α = 0 alors ( 2 ) { y = 0 x = z et S 0 = V e c t ( 1 , 0 , 1 ) et 0 est valeur propre de f

        • si α = 2 alors ( 2 ) { y = 0 x = z et S 2 = V e c t ( 1 , 0 , 1 ) et 2 est valeur propre de f .

        • sinon ( α 0 , 1 et 2) alors ( 2 ) { z = 0 y = 0 x = 0 et α n'est pas valeur propre.

      Finalement les valeurs propres de f sont 0 < 1 < 2 .

    2. En déduire, sans autre calcul, les réponses aux questions suivantes :

      Comme f a trois valeurs propres ditinctes dans 3 , elle est diagonalisable (et les trois vecteurs propres forment une base de 3 ) donc A également .

      Comme 0 est valeur propre de f donc de A , A n'est pas inversible.

  1. On a trouver comme vecteurs propres engendrant les sous espaces propres :

    pour la valeur propre 0 : e 1 = ( 1 , 0 , 1 ) qui convient et qui a pour coordonnées ( 1 , 0 , 1 )

    pour la valeur propre 1 : e 2 = ( 0 , 1 , 0 ) qui convient et qui a pour coordonnées ( 0 , 1 , 0 )

    pour la valeur propre 2 : e 2 = ( 1 , 0 , 1 ) qui convient et qui a pour coordonnées ( 1 , 0 , 1 ) dans la base canonique.

  2. La matrice de passage de ( i , j , k ) à la base ( e 1 , e 2 , e 3 ) est celle dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de ( e 1 , e 2 , e 3 ) dans la base ( i , j , k ) . Donc P = ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )

    On calcule P 1 par laméthode de Gauss :

    ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) L 3 L 1 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 1 / 2 0 1 / 2 ) L 1 + L 3 / 2 L 3 / 2

    Donc P 1 = 1 2 ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )

  3. On a d'après le théorème de diagonalisation A = P D P 1 avec D = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 2 )

    Donc A n = P D n P 1 = 1 2 ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ) ( 0 0 0 0 1 0 0 0 2 n ) ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ) = ( 1 2 2 n 0 1 2 2 n 0 1 2 0 1 2 2 n 0 1 2 2 n )