ESC Lyon 1993

f est l'endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique de 3 , notée ( i , j , k ) est A : A = ( 1 0 1 0 1 0 1 2 1 )

    1. Calculer les valeurs propres de f

      On les notrera λ 1 , λ 2 , λ 3 de sorte que λ 1 < λ 2 < λ 3

    2. En déduire, sans autre calcul, les réponses aux questions suivantes :

      A est-elle diagonalisable ?

      A est-elle inversible ?

  1. Pour tout p { 1 , 2 , 3 } , montrer qu'il existe un vecteur popre e p de f associé à la valeur porpre λ p dont la p i e ` m e coordonnée dans la base canonique ( i , j , k ) est 1. Donner les coordonnées de e p dans cette base.

  2. Soit P la matrice de passage de ( i , j , k ) à la base ( e 1 , e 2 , e 3 ) . Ecrire P . Calculer P 1 : les calculs devront figurer sur la copie.

  3. Pour n * , calculer A n : on donnera de façon explicite les neufs coefficients de la matrice A n .