ECRICOME 2003

On considère l'espace vectoriel E = 3 et f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base canonique = ( e 1 , e 2 , e 3 ) est la matrice A :

A = ( 3 2 3 1 0 2 0 0 2 )

1. Calcul des puissances de A

  1. Déterminer les valeurs propres λ 1 et λ 2 de l'endomorphisme f , avec λ 1 < λ 2

  2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A 1 ).

  3. Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f .

  4. Justifier que f n'est pas diagonalisable.

  5. Déterminer le vecteur u 1 de E vérifiant :

  6. Déterminer le vecteur u 2 de E vérifiant :

  7. Soit u 3 = ( 1 , 1 , 1 ) . Montrer que 𝒞 = ( u 1 , u 2 , u 3 ) est une basede E .

  8. Déterminer la matrice de passage P de la la base dans la base 𝒞 puis la matrice de passage de la base 𝒞 à la base .

  9. Montrer que : f ( u 3 ) = u 2 + 2 u 3

  10. En déduire que la matrice de f dans la base 𝒞 est la matrice: T = ( 1 0 0 0 2 1 0 0 2 )

  11. Rappeler la relation matricielle entre A et T .

  12. Prouver que pour tout élément n de * il existe un réel α n tel que : T n = ( 1 0 0 0 2 n α n 0 0 2 n ) On donnera le réel α 1 ainsi qu'une relation entre α n + 1 et α n

  13. Montrer que : n * , α n = n 2 n 1 En déduire l'écriture matricielle de A n en fonction de n .

2. Matrices commutant avec A .

3 ( ) désignant l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3, on considère le sous-ensemble C ( A ) de 3 ( ) des matrices M telles que : A M = M A

  1. Montrer que C ( A ) est un sous-espace vectoriel de 3 ( )

  2. Pour M appartenant à 3 ( ) on pose M = P 1 M P .

    Montrer que : A M = M A T M = M T ( T est définie dans la question 1.10)

  3. Montrer qu'une matrice M de 3 ( ) ) vérifie T M = M T si et seulement si M est de la forme ( a 0 0 0 b c 0 0 b ) a , b , c sont trois réels.

  4. En déduire que M appartient à C ( A ) si et seulement si il existe des réels a , b , c tels que : M = ( a + 2 b 2 a 2 b a + b + 2 c a + b 2 a b a + b + c 0 0 b )

  5. Déterminer alors une base de C ( A ) ainsi que la dimension de C ( A ) .