Corrigé HEC Eco III 2003 par Pierre Veuillez

EXERCICE

  1. Soit a et b deux réels strictement positifs et A la matrice carré d'ordre 2 définie par : A = ( a b b a ) .

    1. Si a et b sont égaux alors les colonnes de A sont liées donc A n'est pas inversible.

    2. A 2 = ( a b b a ) ( a b b a ) = ( a 2 + b 2 2 a b 2 a b a 2 + b 2 ) et A 2 2 a A = ( b 2 a 2 0 0 b 2 a 2 ) = ( b 2 a 2 ) I

      Donc, si a b (et a b qui est vérifié car a et b sont strictement positifs) b 2 a 2 0 et I = 1 b 2 a 2 A A

      Conclusion :

      si a b , A est inversible et A 1 = 1 b 2 a 2 A

    3. Comme A 2 2 a A ( b 2 a 2 ) I = 0 , si α est valeur propre de A alors α 2 2 a α ( b 2 a 2 ) = 0

      On vérifie que a + b et a b en sont racines. ( a + b ) 2 2 a ( a + b ) ( b 2 a 2 ) = 0 et de même pour a b .

      Comme a b a + b (car b 0 ), ce sont les seules racines.

      Conclusion :

      les seules valeurs propres possibles sont a + b et a b

      A ( a + b ) I = ( b b b b ) est non inversible donc a + b est bien valeur propre; de même pour a b

      Conclusion :

      Les valeurs propres de A sont a + b et a b

    4. On cherche un vecteur propre ( 1 , y ) associé à a + b :

      ( A ( a + b ) I ) ( 1 y ) = 0 y = 1 donc ( 1 , 1 ) est vecteur propre associé à a + b

      ( A ( a b ) I ) = ( b b b b ) et ( 1 , 1 ) est un vecteur propre associé à ( a b )

      On peut utiliser la condition suffisante de diagonalisabilité (2 valeurs propres distinctes) ou constater que ( 1 , 1 ) et ( 1 , 1 ) étaient deux vecteurs non proportionnels donc libres, pour conclure qu'ils forment une base de vecteurs propres.

      Et avec Q = ( 1 1 1 1 ) et Δ = ( a + b 0 0 a b ) on a donc A = Q Δ Q 1 .

    5. Par la méthode de Gauss :

      ( 1 1 1 1 ) L 2 L 1 ( 1 0 0 1 ) ( 1 1 0 2 ) L 1 + 1 2 L 2 1 2 L 2 ( 1 0 1 1 )

      ( 1 0 0 1 ) ( 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) = Q 1 et
      A n = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( ( a + b ) n 0 0 ( a b ) n ) ( 1 1 1 1 ) = 1 2 ( ( a + b ) n + ( a b ) n ( a + b ) n ( a b ) n ( a + b ) n ( a b ) n ( a + b ) n + ( a b ) n )
      pour tout n

  2. Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et q le réel 1 p . On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre p .
    Pour tout ω de Ω , on désigne par M ( ω ) la matrice carrée d'ordre 2 : ( X ( ω ) Y ( ω ) Y ( ω ) X ( ω ) ) et on note S ( ω ) (respectivement D ( ω ) ) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M ( ω ) et on définit ainsi deux variables aléatoires sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

    1. On a ( X = Y ) = i = 1 + ( X = i Y = i ) ( d'incompatibles et d'indépendants) donc P ( X = Y ) = i = 1 + P ( X = i ) P ( Y = i ) = i = 1 + q 2 ( i 1 ) p 2 = p 2 1 1 q 2 = p 2 ( 1 q ) ( 1 + q ) = p 2 p ( 2 + p ) = p 2 p On a vu que, pour a et b strictement positifs, A est inversible si (question b) et seulement si (question a) a b

      Et comme X ( Ω ) = Y ( Ω ) = [ [ 1 , + [ [ elles sont strictement positives.

      Donc M ( ω ) inversible si et seulement si X ( ω ) Y ( ω )

      Conclusion :

      P ( M  inversible ) = 1 P ( Y = X ) = 2 2 p 2 p

    2. Les valeurs propres de M sont X + Y > X Y donc S = X + Y (d'où le nom S comme somme) et D = X Y (comme différence ...)

      Donc cov ( S , D ) = E ( S D ) E ( S ) E ( D ) = E ( X 2 Y 2 ) E ( X + Y ) E ( X Y ) = E ( X 2 ) E ( X ) 2 E ( Y 2 ) + E ( Y ) 2 = V ( X ) V ( Y ) = 0

    3. ( [ S = 2 ] [ D = 0 ] ) = ( X = 1 Y = 1 ) donc P ( S = 2 D = 0 ) = p 2

      alors que P ( S = 2 ) = P ( X = 1 Y = 1 ) = p 2 et P ( D = 0 ) = P ( X = Y ) = p 2 p 1 car p 2 p car p 1

      Donc P ( [ S = 2 ] [ D = 0 ] ) P ( [ S = 2 ] ) P ( [ D = 0 ] ) . et
      Conclusion :

      Les variables aléatoires S et D ne sont pas indépendantes
      alors que leurs covariance est nulle

    4. On a ( S = n ) = i = 1 n 1 ( X = i Y = n i ) pour que X = i et Y = n i soient tout deux possibles.

      Donc P ( S = n ) = i = 1 n 1 P ( X = i ) P ( Y = n i ) = i = 1 n 1 q i 1 p q n i 1 p  car  i 1  et  n i 1 = p 2 q n q 2 i = 1 n 1 1 = ( n 1 ) p 2 q n 2 .

    5. La plus grande des valeurs propres est S .

      La plus probable est celle de plus grande probabilité.

      Soit f ( x ) = ( x 1 ) p 2 q x 2 = p 2 ( x 1 ) exp [ ( x 2 ) ln ( q ) ] f est dérivable sur ] 0 , + [ et f ( x ) = p 2 ( q x 2 + ( x 1 ) ln ( q ) q x 2 ) = p 2 q x 2 ( 1 + ( x 1 ) ln ( q ) ) avec 1 + ( x 1 ) ln ( q ) > 0 ( x 1 ) ln ( q ) > 1 x 1 < 1 / ln ( q )  car  ln ( q ) < 0 x < 1 / ln ( 19 / 21 ) + 1 = x 0 10.9 La fonction est donc croissante sur : ] 0 , x 0 [ et décroissante sur ] x 0 , + [

      Sa plus grande valeur entière est donc en 10 ou en 11. Et comme f ( 11 ) > f ( 10 )

      Conclusion :

      si p = 2 21 la valeur la plus probable
      de la plus grande valeur propre des matrices M ( ω ) possibles est 11