HEC III 2003

  1. Soit a et b deux réels strictement positifs et A la matrice carré d'ordre 2 définie par : A = ( a b b a ) .

    1. Montrer que si a et b sont égaux, la matrice A n'est pas inversible.

    2. Calculer la matrice A 2 2 a A . En déduire que, si a et b sont distincts, la matrice A est inversible et donner la matrice A 1 .

    3. Montrer que les valeurs propres de A sont a + b et a b .

    4. On pose Δ = ( a + b 0 0 a b ) . Déterminer une matrice Q , carrée d'ordre 2 à coefficients réels, inversible et dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1 , vérifiant A = Q Δ Q 1 .

    5. Calculer la matrice Q 1 et, à l'aide de la question précédente, calculer la matrice A n pour tout entier naturel non nul n .

  2. Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et q le réel 1 p . On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre p .
    Pour tout ω de Ω , on désigne par M ( ω ) la matrice carrée d'ordre 2 : ( X ( ω ) Y ( ω ) Y ( ω ) X ( ω ) ) et on note S ( ω ) (respectivement D ( ω ) ) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M ( ω ) et on définit ainsi deux variables aléatoires sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

    1. Montrer que la probabilité de l'événement [ X = Y ] est donnée par: P ( [ X = Y ] ) = p 2 p et en déduire la probabilité de l'événement { ω Ω ; M ( ω ) est inversible } .

    2. Calculer la covariance des variables aléatoires S et D .

    3. Calculer les probabilités P ( [ S = 2 ] [ D = 0 ] ) , P ( [ S = 2 ] ) et P ( [ D = 0 ] ) .
      Les variables aléatoires S et D sont-elles indépendantes ?

    4. Établir, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : P ( [ S = n ] ) = ( n 1 ) p 2 q n 2 .

    5. En déduire, lorsque p est égal à 2 21 , que la valeur la plus probable de la plus grande valeur propre des matrices M ( ω ) possibles est 11 .