ESC 2003
On considère pour n entier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante :


An =( 1\dfrac1n\dfrac1n \dfrac-1n\dfracn+2n\dfrac1n \dfrac1n\dfrac-1n1 ) et on note I=( 100 010 001 )
On note fn l'endomorphisme de 3 représenté par An relativement à la base canonique de 3 .
On considère également les vecteurs de 3 : u =(1,1,-1) , v =(1,1,0) et w =(0,-1,1).
    1. Déterminer pour tout triplet (x,y,z)de \mathbb 3 l'expression de fn ((x,y,z))en fonction de n,x,y,z.   
    2. Déterminer les images de u , v , w par fn .
    3. Montrer que la famille ( u , v , w ) est une base de \mathbb 3 .
    4. En déduire une matrice P telle que :
      • P inversible et P-1 =( 1-1-1 011 1-10 )
      • P-1 An P= Dn , où Dn =I+\dfrac1nH et H=( 000 010 001 )
  1. On pose pour tout entier naturel n non nul Πn = A1 A2 An ( avec Π1 = A1 ).
    1. Montrer que Πn = PD1 D2 Dn P-1 .
    2. Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul :
      D1 D2 Dn =I+nHoùHestlamatricedéfinieau2(c)

    3. En déduire les neuf coefficients de la matrice Πn .
  2.    
    1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul D1 D2 Dn est inversible et que
      ( D1 D2 Dn )-1 =I-\dfracnn+1H     oùHestlamatricedéfinieau2(c).

    2. En déduire que Πn est inversible et donner les neuf coefficents de Πn -1 .

(ESC 2003)



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On 18 May 2004, 00:02.