ESSEC option Eco 2003Maths III

Soit a un nombre réel. On note l'ensemble des suites réelles définies sur , et F le sous- ensemble de formé des suites ( u n ) n qui vérifient : n u n + 3 = 3 a u n + 1 + ( 1 3 a ) u n .


L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble F .



I. Étude du cas particulier a = 1 .

Soit ( u n ) n la suite définie par ses trois premiers termes u 0 , u 1 , u 2 , et la relation de récurrence n u n + 3 = 3 u n + 1 2 u n .

Pour tout entier naturel n , on pose : X n = ( u n u n + 1 u n + 2 ) et on note M la matrice carrée ( 0 1 0 0 0 1 2 3 0 )

  1. Reconnaître, pour tout entier naturel n , le produit M X n .

    En déduire l'expression de X n en fonction des matrices M , X 0 et de l'entier naturel n .

    1. Déterminer les valeurs propres de la matrice M et leur sous-espace propre associé.

    2. La matrice M est-elle diagonalisable ?

  2. On note f l'endomorphisme de 3 canoniquement associé à M , c'est-à-dire tel que M soit la matrice de f dans la base canonique de 3 .

    1. Déterminer une base = ( e 1 , e 2 , e 3 ) telle que la matrice T de f dans vérifie T = ( 2 0 0 0 1 1 0 0 1 ) , et que les vecteurs e 1 , e 2 , e 3 aient respectivement pour première composante 1, 1 et 0.

    2. Déterminer, pour tout entier naturel n , l'expression de T n

  3. Soit P la matrice de passage de la base à la base ' . Exprimer M en fonction de T , P et P 1 , puis M n en fonction des mêmes matrices et de l'entier naturel n .

    1. Calculer P 1 (les calculs devront figurer sur la copie)

    2. Pour tout entier naturel n , calculer les coefficients de la première ligne de M n ; en déduire l'expression de u n en fonction de u 0 , u 1 , u 2 et de l'entier naturel n .



II . Étude du cas général .

On revient au cas général où a est un réel quelconque.

  1. Structure de F .

    1. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de

    2. On considère l'application ϕ : F 3 ( u n ) n ( u 0 , u 1 , u 2 ) .

      Démontrer que ϕ est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que F est de dimension finie et préciser sa dimension.

    3. Justifier que des suites ( u n ) n , ( v n ) n , ( w n ) n de F forment une base de F si, et seulement si, la matrice ( u 0 v 0 w 0 u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 ) est inversible.

    4. On suppose dans cette question: a = 0 .

      On note s , s , s les suites définies par :

      s = ϕ 1 ( ( 1 , 0 , 0 ) ) , s = ϕ 1 ( ( 0 , 1 , 0 ) ) , s = ϕ 1 ( ( 0 , 0 , 1 ) )

      Déterminer s , s , s (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la forme générale d'un élément de F .

    5. Reprendre la question précédente dans le cas a = 1 / 3

  2. Suites géométriques de F .

    1. Démontrer que la suite ( r n ) n appartient à F si, et seulement si, le réel r est racine de la fonction polynomiale p : x x 3 3 a x + 3 a 1

      (avec la convention : 0 0 = 1 )

    2. Déterminer, en fonction du réel a , le nombre de racines de la fonction p ainsi que leur valeur.

  3. Cas où p admet trois racines distinctes.

    1. Démontrer que, lorsque la fonction p admet trois racines distinctes 1, r 1 et r 2 , les suites ( 1 ) n , ( r 1 n ) n et ( r 2 n ) n forment une base de l'espace vectoriel F

    2. Dans le cas où a = 7 , exprimer, en fonction de l'entier naturel n , le terme général u n de la suite, appartenant à F , qui vérifie: u 0 = 1 , u 1 = 10 , u 2 = 8

  4. Cas où p admet une racine double.

    1. Soit r un nombre réel et ( u n ) n la suite de terme général n r n . Démontrer que, pour tout n de : u n + 3 3 a u n + 1 ( 1 3 a ) u n = r n ( n p ( r ) + r p ( r ) )

    2. En déduire que, lorsque p admet une racine double r 0 et une racine simple r 1 la suite ( n r 0 n ) n appartient à F , et démontrer que les suites ( r 0 n ) n , ( n r 0 n ) n et ( r 1 n ) n forment une base de F .

    3. Dans le cas où a = 1 / 4 , exprimer le terme général u n d' un élément quelconque ( u n ) n de F en fonction de u 0 , u 1 et u 2 et de l'entier naturel n ; préciser la limite de ( u n ) n .