Corrigé EDHEC 1999 par Pierre Veuillez

Soit a un réel positif ou nul. On considère la matrice A ( a ) = ( 1 a 2 a 1 a 1 1 a 0 0 a 1 0 0 1 0 )

  1. On a A ( 0 ) = ( 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 )

    Et pour tout ( x , y , z , t ) : ( A α I ) X = 0

    { ( 1 α ) x 2 y + t = 0 ( 1 α ) y + z = 0 α z + t = 0 z α t = 0 { ( 1 α ) x 2 y + t = 0 ( 1 α ) y + z = 0 t = α z ( 1 + α 2 ) z = 0 ( 1 ) { ( 1 α ) x 2 y = 0 ( 1 α ) y = 0 t = 0 z = 0 car 1 + α 2 0

    Conclusion :

    1 et 1 sont les seules valeurs propres de A ( 0 )

    Dans la suite, on suppose a > 0.

  2. On réduit la matrice ( A ( a ) λ I ) : ( 1 λ a 2 0 1 a 1 λ 1 a 0 0 a λ 1 0 0 1 λ ) L 1 1 λ a L 2 L 2 L 2 L 1 L 3 ( a + λ ) L 4 L 4 L 4 L 3

    ( a 1 λ 1 a 0 a 2 + ( 1 λ ) ( 1 + λ ) a 0 0 1 a λ 0 0 0 1 + λ ( a + λ ) ) triangulaire qui est donc non inversible si et seulement si

    0 = a 2 + ( 1 λ ) ( 1 + λ ) a = a 2 2 a + 1 λ 2 a soit λ 2 = ( a 1 ) 2

    ou pour 0 = 1 + λ ( a + λ ) soit λ 2 + a λ + 1 = 0.

    Conclusion :

    les valeurs propres de A ( a ) sont les réels λ solutions de l'une des équations :
    λ 2 = ( a 1 ) 2 ou  λ 2 + a λ + 1 = 0.

    1. A ( a ) n'est pas inversible si et seulement si .0 est valeur propre.

      Donc si a = 1 (la seconde équation n'a pas de sllutio si λ = 0 )

    2. Si a = 1 , les valeurs propres sont λ = 0 et les solutions de λ 2 + λ + 1 = 0. Δ = 1 4 < 0

      Donc la seule valeur propre de A ( 1 ) est 0.

      Si A ( 1 ) était diagonalisable, on aurait A = P D P 1 avec D diagonale nulle ! donc A ( 1 ) = 0 ce qui n'est pas le cas.

      Conclusion :

      A ( 1 ) n'est pas diagonalisable

  3. On suppose dans cette question que a > 2.

    1. Les valeurs propres sont alors a 1 et 1 a

      Sont-elles racine de la seconde équation ?

      ( a 1 ) 2 + a ( a 1 ) + 1 = 2 a 2 3 a + 2 : Δ = 9 16 < 0 donc non nul pour tout a

      ( 1 a ) 2 + a ( 1 a ) + 1 = a + 2 < 0

      Donc elles ne sont pas racines.

      D'autre part il y a λ = a ± a 4 2 car Δ = a 4 > 0

      Conclusion :

      A ( a ) possède 4 valeurs propres distinctes deux à deux.

    2. Comme A ( a ) est d'ordre 4 , A ( a ) est donc diagonalisable