EDHEC 1999

Soit a un réel positif ou nul. On considère la matrice A ( a ) = ( 1 a 2 a 1 a 1 1 a 0 0 a 1 0 0 1 0 )

  1. Montrer que A ( 0 ) admet 1 et -1 comme seules valeurs propres.

    Donner les sous-espaces propres correspondants.

    Dans la suite, on suppose a > 0.

  2. Montrer que les valeurs propres de A ( a ) sont les réels λ solutions de l'une des équations : λ 2 = ( a 1 ) 2 et  λ 2 + a λ + 1 = 0.

    1. Déduire de la question précédente la valeur de a pour laquelle A ( a ) n'est pas inversible.

    2. Pour cette valeur, dire si A ( a ) est diagonalisable.

  3. On suppose dans cette question que a > 2.

    1. Montrer que A ( a ) possède 4 valeurs propres distinctes deux à deux.

    2. En déduire que A ( a ) est diagonalisable.