Corrigé ECRICOME 2004 par Pierre Veuillez
Dans cet exercice, on étudie l'exponentielle d'une matrice pour une matrice carrée d'ordre 3, puis d'ordre 2.

0.1  Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 3.

Soient A et P les matrice définies par :
A=( 111 -11-1 -20-2 ),   P=( 211 -12-1 1-11 )

  1. On applique la méthode de Gauss :
    ( 211 -12-1 1-11 100 010 001 ) L1 -2 L3 L3 L2 + L1 L2 L3 L1 ( 1-11 010 03-1 001 011 10-2 ) L1 + L2 L3 -3 L2
    ( 101 010 00-1 012 011 1-3-5 ) L1 + L3 - L3 ( 100 010 001 1-2-3 011 -135 )
    Donc P est inversible et P-1 =( 1-2-3 011 -135 )
  2. On pose T=PA P-1 .
    1. On a T=P( 111 -11-1 -20-2 )( 1-2-3 011 -135 )=( 211 -12-1 1-11 )( 023 00-1 0-2-4 )=\allowbreak( 021 00-1 000 )
    2. Donc T2 =\allowbreak( 021 00-1 000 )\allowbreak( 021 00-1 000 )=( 00-2 000 000 )
      et T3 = T2 T=( 00-2 000 000 )( 021 00-1 000 )=0
      Donc pour tout n3, puis Tn = Tn-3 T3 =0 (on peut développer la puissance car n-30 )
  3. On a alors
    n3,    An = PTn P-1 =0

  4. Pour tout réel t, on défint la matrice E(t) par :
    E(t)=I+tA+ t2 2 A2

    I désigne la matrice unité d'ordre 3.
    1. on simplifie le produit en utilisant que A3 = A4 =0

      E(t)E( t' )=(I+tA+ t2 2 A2 )(I+ t' A+ t'2 2 A2 ) =I+(t+ t' )A+( t2 2 +t t' + t'2 2 ) A2 +(t t ' 2 2 + t' t2 2 ) A3 + t2 t'2 4 A4 =I+(t+ t' )A+ 1 2 (t+ t' )2 A2 =E(t+ t' )

      N.B. c'est cette propriété qui est caractéristique de l'exponentielle. ( ea+b = ea eb )
    2. On a pour tout t réel, E(t)E(-t)=E(t-t)=E(0)=I
      Donc E(t) est inversible et E (t)-1 =E(-t)=I-tA+ t2 2 A2
    3. On a aussi par une récurrence immédiate que [E(t)]n =E(nt)=I+ntA+ (nt)2 2 A2 pour tout entier naturel n.

0.2  Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 2.

Soient B et D les matrices définies par :
B=( 0-1 23 ),   D=( 10 02 )

Pour out entier naturel n nonnul, et pour tout réel t, on définit la matrice En (t) par :
En (t)= k=0 n tk k! Bk    que l'on note  En (t)=( an (t) cn (t) bn (t) dn (t) )

  1. On recherche les sous-espaces propres de B:
    (B-αI)( x y )=0{ -αx-y=0 2x+(3-α)y=0 (1){ y=-αx [2-(3-α)α]x=0
    Comme [2-(3-α)α]=\allowbreak2-3α+ α2 a pour racines α=1 et α=2
    Donc B de taille 2 a deux valeurs porpres distinctes est donc diagonalisable.
  2. On a une base de vecteurs propres en concaténant 1 vecteurs propres de chaque sous espace associés respectivement à 1 et 2 (ordre dans D ) .
    Donc Q=( 11 -1-2 ) est inversible et convient pour B= QDQ-1 soit Q-1 BQ=D
  3. On peut calculer l'inverse de Q puis développer QDn Q-1 o procéder par récurrence :
    On économise ainsi le calcul de l'inverse et un produit de matrices.
  4. La somme k=0 n tk k! Bk de matrice se calcule terme à terme. Donc
    n\BbbN,    an (t)= k=0 n tk k! (2- 2k )= k=0 n 2 tk - (2t)k k!

    et de même

    bn (t)= k=0 n tk k! ( 2k+1 -2)= k=0 n -2 tk +2 (2t)k k! cn (t)= k=0 n tk k! (1- 2k )= k=0 n tk - (2t)k k! dn (t)= k=0 n tk k! ( 2k+1 -1)= k=0 n - tk +2 (2t)k k!

  5. En développant, on fait apparaitre des sommes partielles de séries exponentielles :

    an (t)= k=0 n 2 tk - (2t)k k! =2 k=0 n tk k! - k=0 n (2t)k k! 2 et - e2t

    et de même
    bn (t)=-2 k=0 n tk k! +2 k=0 n (2t)k k! -2 et +2 e2t cn (t)= k=0 n tk k! - k=0 n (2t)k k! et - e2t dn (t)=- k=0 n tk k! +2 k=0 n (2t)k k! - et +2 e2t

    lorsque n tend vers +.
    1. On a donc bien
      E(t)=( 2 et - e2t et - e2t 2 e2t -2 et 2 e2t - et )

    2. On sépare alors les termes :
      E(t)=( 2 et - e2t et - e2t 2 e2t -2 et 2 e2t - et ) = et ( 21 -2-1 )+ e2t ( -1-1 22 )

      donc E1 =( 21 -2-1 ) et E2 =( -1-1 22 ) conviennent pour E(t)= et E1 + e2t E2
    3. On trouve alors :
      E1 2 =( 21 -2-1 )( 21 -2-1 )=\allowbreak( 21 -2-1 )= E1
      E2 2 =( -1-1 22 )( -1-1 22 )=\allowbreak( -1-1 22 )= E2
      E1 E2 =( -1-1 22 )=\allowbreak( 00 00 )
      et E2 E1 =( -1-1 22 )( 21 -2-1 )=( 00 00 )
    4. En s'inspirant de la partie précédente .... on calcule
      E(t)E(-t) = ( et E1 + e2t E2 )( e-t E1 + e-2t E2 ) = et-t E1 2 + et-2t E1 E2 + e2t-t E2 E1 + e2t-2t E2 2 = E1 + E2 = I

      Donc E(t) est inversible et son inverse est E(-t)



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On 11 Oct 2005, 22:25.