ECRICOME 2004
Dans cet exercice, on étudie l'exponentielle d'une matrice pour une matrice carrée d'ordre 3, puis d'ordre 2.

0.1  Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 3.

Soient A et P les matrice définies par :
A=( 111 -11-1 -20-2 ),   P=( 211 -12-1 1-11 )

  1. Montrer que la matrice P est inversible et déterminer P-1
  2. On pose T=PA P-1 .
    1. Calculer la matrice T
    2. Calculer T2 ,   T3 , puis Tn pour out entier naturel n3.
  3. En déduire que :
    n3,    An =0

    0 désigne la matrice nulle d'ordre 3.
  4. Pour tout réel t, on défint la matrice E(t) par :
    E(t)=I+tA+ t2 2 A2

    I désigne la matrice unité d'ordre 3.
    1. Montrer que :
      (t, t' )\Bbb R2 ,   E(t)E( t' )=E(t+ t' )

    2. Pour tout t réel, calculer E(t)E(-t). En déduire que la matrice E(t) est inversible et déterminer son inverse en fonction de I,  A,   A2 ,  t.
    3. Pour tout t réel et pour tout entier naturel n, déterminer [E(t)]n en fonction de I,  A,   A2 ,  t et n.

0.2  Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 2.

Soient B et D les matrices définies par :
B=( 0-1 23 ),   D=( 10 02 )

Pour tout entier naturel n nonnul, et pour tout réel t, on définit la matrice En (t) par :
En (t)= k=0 n tk k! Bk    que l'on note  En (t)=( an (t) cn (t) bn (t) dn (t) )

  1. Montrer que B est diagonalisable.
  2. Déterminer une matrice Q d'ordre 2, inversible telle que
    Q-1 BQ=D

  3. Pour tout entier naturel n, montrer que :
    Bn =( 2- 2n 1- 2n 2n+1 -2 2n+1 -1 )

  4. Montrer que :
    n\BbbN,    an (t)= k=0 n 2 tk - (2t)k k!

    exprimer de même bn (t),   cn (t),   dn (t) sous le forme d'une somme.
  5. Déterminer les limites de an (t),   bn (t),   cn (t),   dn (t) lorsque n tend vers +.
  6. Pour tout t réel, onpose alors :
    E(t)=( limn+ an (t) limn+ cn (t) limn+ bn (t) limn+ dn (t) )

    1. Montrer que
      E(t)=( 2 et - e2t et - e2t 2 e2t -2 et 2 e2t - et )

    2. Déterminer les matrice E1 et    E2 , telles que pour tout t réel on ait :
      E(t)= et E1 + e2t E2

    3. Calculer E1 2 ,   E2 2 ,   E1 E2 ,   E2 E1 .
    4. En déduire que pour tout t réel, E(t) est inversible et déterminer son inverse.



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:25.