EDHEC 2004

On note E l'espace vectoriel des fonctions polynômiale réelles de degré inférieur ou égal à 2.

On note e 0 , e 1 , e 2 les fonctions définies, pour tout réel x par e 0 ( x ) = 1 , e 1 ( x ) = x et e 2 ( x ) = x 2 et on rappelle que = ( e 0 , e 1 , e 2 ) est une base de E .

Soit f l'application qui à toute fonction polynômiale P de E associe la fonction Q = f ( P ) , où Q est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel x associe ( x 2 x ) P ( x ) .

    1. Montrer que f est un endomorphisme de E .

    2. Déterminer f ( e 0 ) , f ( e 1 ) , et f ( e 2 ) en fonction de e 0 , e 1 et e 2 .

    3. En déduire que la matrice de f dans la base est A = ( 2 2 0 0 6 6 0 0 12 )

    4. Montrer sans calcul que f est un automorphisme de E .

    1. Donner les valeurs propres de f , puis en déduire que f est diagonalisable.

    2. Déterminer les sous-espaces propres de f .

    1. Justifier l'existence dune matrice P inversible dont la première ligne ne contient que des 1 telle que A = P D P 1 , où D = ( 2 0 0 0 6 0 0 0 12 ) .

    2. Montrer que : n , A n = P D n P 1

    1. Déterminer la matrice P 1 .

    2. En déduire explicitement, en fonction de n , la matrice A n .

    3. On dit qu'une suite de matrices ( M n ) tend vers la matrice M , lorsque n tend vers + , si chaque coefficient de M n tend vers le coefficient situé à la même place dans M .

      On pose B = 1 12 A . Montrer que la suite ( B n ) n tend vers une matrice J vérifiant J 2 = J .