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Exercice 1

on considère la matrice A ( a ) de 3 ( ) suivante : A ( a ) = ( 1 1 a 2 0 0 a 2 1 0 0 )

  1. On détermine le svaleurs de α pour lesquelles A ( a ) α I est inversibles :

    A ( a ) α I = ( 1 α 1 a 2 0 α a 2 1 0 α ) L 1 ( 1 α ) L 3 L 3 L 3 L 1 non inversible

    ( 1 0 α 0 α a 2 0 1 a 2 + ( 1 α ) α ) L 2 α L 3 L 3 L 3 L 2 non inversible

    ( 1 0 α 0 1 a 2 + ( 1 α ) α 0 0 a 2 α [ a 2 + ( 1 α ) α ] ) L 2 α L 3 L 3 L 3 L 2 non inversible

    a 2 α [ a 2 + ( 1 α ) α ] = 0

    Or a 2 α ( a 2 + ( 1 α ) α ) = a 2 α a 2 α 2 + α 3

    S'annule pour α = 1 on la factorise :

    a 2 α a 2 α 2 + α 3 = ( α 1 ) ( α 2 a 2 ) = ( α 1 ) ( α a ) ( α + a )

    (les racines peuvent être identique si a = ± 1 ou a = 0 )

    Conclusion :

    Donc les valeurs propres de A ( a ) sont 1, a et a

  2. A ( a ) est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre

    Conclusion :

    A ( a ) est inversible pour a 0 et non inversible pour a = 0

  3. On suppose dans cette question 3. seulement : a 0 et a 1 et a 1

    1. Dans ce cas, A ( a ) possède trois valeurs prorpres distinctes car ma 1 : a 1 : a a

      Donc A ( a ) est diagonalisable.

    2. On résout pour chaque valeur propre : ( 1 α 1 a 2 0 α a 2 1 0 α )

      ( A a I ) ( x y z ) = 0 { ( 1 a ) x y + a 2 z = 0 a y + a 2 z = 0 x a z = 0

      { [ ( 1 a ) a a + a 2 ] z = 0 y = a z  car  a 0 x = a z { y = a z x = a z

      Donc le sous espace propre associé à la valeur propre a est V e c t ( a , a , 1 )

      Un vecteur propre associé est ( a , a , 1 )

      ( A + a I ) ( x y z ) = 0 { ( 1 + a ) x y + a 2 z = 0 a y + a 2 z = 0 x + a z = 0

      { [ ( 1 + a ) a + a + a 2 ] z = 0 y = a z  car  a 0 x = a z { y = a z x = a z

      Donc le sous espace propre associé à la valeur propre a est V e c t ( a , a , 1 )

      Un vecteur propre associé est ( a , a , 1 )

      ( A I ) ( x y z ) = 0 { y + a 2 z = 0 y + a 2 z = 0 x z = 0

      { y = a 2 z x = z

      Donc le sous espace propre associé à la valeur propre a est V e c t ( 1 , a 2 , 1 )

      Un vecteur propre associé est ( 1 , a 2 , 1 )

    1. Pour savoir si la matrice A ( 0 ) est diagonalisale; il faut déteminer la dimension des sous espaces propres :

      Ses valeurs propres sont 1 et 0.

      A ( 0 ) = ( 1 1 0 0 0 0 1 0 0 )

      ( A I ) ( x y z ) = 0 { y = 0 y = 0 x z = 0

      Donc le sous espace proper asocié à la valeur propre 1 est V e c t ( 1 , 0 , 1 ) et est de dimension 1 (famille libre car formée d'un seul vecteur non nul)

      ( A 0 I ) ( x y z ) = 0 { x y = 0 0 = 0 x = 0 x = y = 0

      Donc le sous espace proper asocié à la valeur propre 1 est V e c t ( 0 , 0 , 1 ) et est de dimension 1

      La somme des dimensions des sous espaces propres étant 2 3 ,

      Conclusion :

      A ( 0 ) n'est pas diagonalisable.

    2. A ( 0 ) 2 = ( 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = ( 1 1 0 0 0 0 1 1 0 )

      A ( 0 ) 3 = ( 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) ( 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ) = ( 1 1 0 0 0 0 1 1 0 ) = A ( 0 ) 2

      Donc, on aura par récurrence : pour tout entier n 2 , A ( 0 ) n = A ( 0 ) 2