EML 1994

On considère la matrice A ( a ) de 3 ( ) suivante : A ( a ) = ( 1 1 a 2 0 0 a 2 1 0 0 )

  1. Déterminer les valeurs propres de A ( a ) , pour a .

  2. Etudier suivant les valeurs du réels a , l'inversibilité de A ( a ) dans 3 ( ) .

  3. On suppose dans cette question 3. seulement : a 0 et a 1 et a 1.

    1. Montrer que A ( a ) est diagonalisable.

    2. Calculer, pour chacune des valeurs propres de A , un vecteur propre de A ( a ) associé à cette valeur propre.

    1. La matrice A ( 0 ) est-elle diagonalisable?

    2. calculer ( A ( 0 ) ) 2 , ( A ( 0 ) ) 3 , et ( A ( 0 ) ) n pour tout entier naturel n non nul.