EDHEC 2005

On note J 1 = ( 1 0 0 0 ) , J 2 = ( 0 1 0 0 ) , J 3 = ( 0 0 1 0 ) , et J 4 = ( 0 0 1 0 ) , et on rappelle que la famille ( J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) est une base de 2 ( ) .

Soit f l'application qui, à toute matrice M = ( a b c d ) de 2 ( ) , associe f ( M ) = M + ( a + d ) I I désigne la matrice ( 1 0 0 1 )

  1. Montrer que f est un endomorphisme de 2 ( ) .

    1. Exprimer f ( J 1 ) , f ( J 2 ) , f ( J 3 ) , et f ( J 4 ) comme combinaisons linéaires de J 1 , J 2 , J 3 et J 4 .

    2. Vérifier que la matrice A de f dans la base ( J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) est A = ( 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 )

    3. Justifier que f est diagonalisable.

    1. Montrer que ( J 1 J 4 , J 2 , J 3 , I ) est une base de 2 ( )

    2. Écrire la matrice D de f dans cette base.

    3. En déduire l'existence d'une matrice P inversible telle que A = P D P 1

    1. Déterminer la matrice P 1 .

    2. Montrer que, pour tout n de , A n = P D n P 1

    3. En déduire explicitement la matrice A n .