EML 2005

On considère les éléments suivants de M 3 ( ) : I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) , J = ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) , K = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )

On note E le sous-espace vectoriel de M 3 ( ) engendr\e par I , J et K .

Pour toute matrice M de E , on note M 0 = I , et si M est inversible, on note, pour tout entier naturel k , M k = ( M 1 ) k , et on rappelle qu'alors M k est inversible et que ( M k ) 1 = M k .

  1. Déterminer la dimension de E .

  2. Calculer J 2 , J K , K J et K 2 .

  3. Soit la matrice L = I + J .

    1. Montrer, pour tout entier naturel n : L n = I + n J + n ( n 1 ) 2 K

    2. Vérifier que L est inversible et montrer, pour tout entier relatif n : L n = I + n J + n ( n 1 ) 2 K

    3. Exprimer, pour tout entier relatif n , L n à l'aide de I , L , L 2 et n .

    On considère

    la matrice A = ( 0 2 1 1 0 1 2 3 3 )

    de 3 ( ) et on note f l'endomorphisme de 3 représenté par la matrice A dans la base canonique de 3 et e l'application identique de 3 dans lui-même.

  4. Montrer que f admet une valeur propre et une seule que l'on déterminera.

    Est-ce que f est diagonalisable ?

    1. Soit w = ( 1 , 0 , 0 ) . Calculer v = ( f e ) ( w ) et u = ( f e ) ( v ) . Montrer que ( u , v , w ) est une base de 3 .

    2. Déterminer la matrice associée à f relativement à la base ( u , v , w ) .

    3. Montrer que f est un automorphisme de 3 et, pour tout entier relatif n , exprimer f n à l'aide de e , f , f 2 et n .