HEC 2005

Dans cet exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2. On note E l'espace vectoriel n et I d l'application identité de E .

L'objet de l'exercice est l'étude des endomorphismes f de E vérifiant l'équation ( * ) : f f = 4 I d

A. Étude du cas n = 2 .

Soit f l'endomorphisme de 2 dont la matrice dans la base canonique est : A = 2 ( 1 1 1 1 )

Soit u le vecteur de 2 défini par u = ( 2 2 2 ) .

  1. Montrer que f vérifie l'équation ( * ) , puis préciser le noyau et l'image de f .

  2. On note F = ker ( f 2 I d ) et G = I m ( f 2 I d ) .

    1. Montrer que G est engendré par le vecteur u . En déduire la dimension de F et donner une base de F .

    2. Vérifier que G est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre 2 .

  3. Montrer que f est diagonalisable; préciser les valeurs propres de f et donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.

B. Étude du cas général.

On se place désormais dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 , et on considère un endomorphisme f de E vérifiant l'équation ( * ) .

    1. Justifier que f est un automorphisme de E et exprimer l'automorphisme réciproque f 1 en fonction de f

    2. Déterminer les valeurs propres possibles de f .

    3. Vérifier que 2 I d et 2 I d satisfont l'équation ( * ) .

    On suppose dans la suite de l'exercice que f 2 I d et f 2 I d et on note F = ker ( f 2 I d ) et G = I m ( f 2 I d ) .

  1. Soit x un élément de E . Montrer que ( f ( x ) 2 x ) appartient à ker ( f + 2 I d ) et que ( f ( x ) + 2 x ) appartient à F .

    En déduire que G ker ( f + 2 I d ) et que I m ( f + 2 I d ) F .

    Montrer que 2 et 2 sont les valeurs propres de f

  2. Soit x un vecteur de ker ( f + 2 I d ) .

    1. Exprimer ( f 2 I d ) ( x ) en fonction de x uniquement.

      En déduire que x appartient à G , puis que G = ker ( f + 2 I d )

    2. Montrer que f est diagonalisable.