EDHEC 1998

E désigne un espace vectoriel sur , rapporté à une base = ( e 1 , e 2 , e 3 ) .

Pour tout réel a , on considère l'endomorphisme f a de E défini par : f a ( e 2 ) = 0    et    f a ( e 1 ) = f a ( e 3 ) = a e 1 + e 2 a e 3

    1. Déterminer une base de Im f a .

    2. Montrer qu'une base de ker f a est ( e 2 , e 1 e 3 ) .

  1. Ecrire la matrice de f a dans et calculer A 2 . En déduire sans calcul f a f a

  2. On pose e 1 = f a ( e 1 ) e 2 = e 1 e 3 e 3 = e 3

    1. Montrer que ( e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de E .

    2. Donner la matrice A de f a dans cette base.

    3. En déduire que 0 est la seule valeur propre de A . A est-elle inversible? A est-elle diagonalisable?

  3. Pour tout réel x non nul, on pose B ( x ) = A x I , I désignant la matrice identité de 3 ( ) .

    1. Montrer sans calcul que B ( x ) est inversible.

    2. Calculer ( A x I ) ( A + x I ) puis écrire ( B ( x ) ) 1 en fonction de x , I et A .

    3. Pour tout n de , déterminer ( B ( x ) ) n en fonction de x , n , I et A .