ESC 2005

Soit = ( e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de l'espace vectoriel 3 . On considère les matrices : A = ( 3 1 0 1 6 1 3 8 0 ) ; I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ; O = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) On note :

f l'endomorphisme de 3 dont la matrice relativement à la base est A .

Id l'endomorphisme de 3 dont la matrice relativement à la base est I .

h l'endomorphisme de 3 défini par : h = f 3 Id .

N la matrice de l'endomorphisme h relativement à la base B.

    1. Vérifier que N = ( 0 1 0 1 3    1 3 8 3 ) . En déduire N 2 O    ;    N 3 = O .

    2. Montrer que si λ est valeur propre de N alors λ = 0 .
      Etablir alors que 0 est la seule valeur propre de h .

    3. En déduire que f admet 3 pour unique valeur propre.

    4. Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de f associé à la valeur propre 3.

    5. L'endomorphisme f est-il diagonalisable ? est il bijectif ?

    1. On considère les vecteurs de 3 : u 1 = ( 1 , 1 , 1 ) ; u 2 = h ( u 1 ) ; u 3 = h ( u 2 ) . Calculer u 2 et u 3 . Vérifier que h ( u 3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) .

    2. Montrer que la famille ( u 1 , u 2 , u 3 ) est une base de 3 , qu'on notera .

    3. Déterminer la matrice N de h relativement à la base .

    4. Montrer que la matrice de f relativement à la base est 3 I + N .
      On considère la matrice P = ( 1 1 1 1 1 0 1 2 1 ) .

    1. A l'aide des questions précédentes, montrer que P est inversible et que A = P ( 3 I + N ) P 1 .

    2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
      b1. Montrer que A n = P ( 3 I + N ) n P 1 .
      b2. Justifier que ( N ) 3 = O .
      En déduire trois réels a n , b n , c n tels que ( 3 I + N ) n = a n I + b n N + c n ( N ) 2 .
      b3. Montrer que A n = a n I + b n N + c n N 2 .