Corrigé ESCP 1999 par Pierre Veuillez

Soit 2 ( ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et soit J la matrice J = ( 0 1 1 0 )

On considère l'application S de 2 ( ) dans lui-même qui associe à tout élément M de 2 ( ) l'élément S ( M ) = J M J .

    1. S est une application de 2 ( ) dans 2 ( ) .

      Linéraité :

      Pour tout M et N 2 ( ) et α et β réels, S ( α M + β N ) = J ( α M + β N ) J = α J M J + β J N J = α S ( M ) + β S ( N )

      Conclusion :

      Donc S est une endomorphisme de 2 ( ) .

      On peut déterminer le noyau de S en résolvant J ( a b c d ) J = 0 , ou plus rapidement :

      On peut remarquer que J 2 = I donc J est inversible d'inverse J donc si S ( M ) = 0 alors J M J = 0 et M = 0 donc ker ( f ) = { 0 } et f est injective donc bijective de 2 ( ) dans 2 ( ) .

      Ou encore :

      pour tout M 2 ( ) , on a S ( S ( M ) ) = J 2 M J 2 = M donc S S = I d et S est sa propre réciproque donc S est bijective.

      Conclusion :

      Donc S est un automorphoisme de 2 ( ) autoréciproque

    2. Si M et N sont deux éléments quelconques de 2 ( ) , on a S ( M N ) = J M N J = J M J J N J = S ( M ) S ( N ) car J 2 = I

  1. On considère les éléments I = ( 1 0 0 1 ) J = ( 0 1 1 0 ) K = ( 1 0 0 1 ) L = ( 0 1 1 0 )

    Soient x , y , z et t réels.

    Si x I + y J + z K + t L = 0 alors { x + z = 0 x z = 0 y + t = 0 y t = 0 d'où x = y = z = t = 0

    Donc la famille est libre de cardinal 4 dans 2 ( ) . qui est de dimension 4.

    Conclusion :

    ( I , J , K , L ) forme une base de l'espace vectoriel 2 ( ) .

  2. On calcule leurs images par S :

    S ( I ) = J I J = J 2 = I donc I est vecteur propre associé à 1.

    S ( J ) = J J J = J donc J est vecteur propre associé à 1

    S ( K ) = ( 0 1 1 0 ) ( 1 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) = ( 1 0 0 1 ) = K donc K est vecteur propre associé à 1.

    S ( L ) = ( 0 1 1 0 ) ( 0 1 1 0 ) ( 0 1 1 0 ) = ( 0 1 1 0 ) = L donc L est vecteur propre associé à 1.

    La matrice de S dans la base ( I , J , K , L ) est donc : ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

  3. Soit l'ensemble des éléments M de 2 ( ) vérifiant S ( M ) = M et soit 𝒢 l'ensemble des éléments M de 2 ( ) (R) Vérifiant S ( M ) = M .

    et 𝒢 sont les sous espaces propres associés ausx valeurs propres 1 et 1. Ce sont donc des sous espaces vectoriels de 2 ( ) .

    Soit M de 2 ( ) .

    Onp rocède par induction/déduction :

    Si M = M + + M alors S ( M ) = S ( M + ) + S ( M ) = M + M d'où M + = 1 2 ( M + S ( M ) ) et M = 1 2 ( M S ( M ) . )

    D'où l'unicité.

    Soient à présent M + = 1 2 ( M + S ( M ) ) et M = 1 2 ( M S ( M ) ) . Ces valeurs conviennent-elle ?

    S ( M + ) = 1 2 [ S ( M ) + S ( S ( M ) ) ] et comme S S = I d , S ( M + ) = 1 2 ( S ( M ) + M ) = M + donc M + .

    Et de même S ( M ) = M et M 𝒢 . .

    Et on a bien M = M + + M

    Conclusion :

    M + et M existent et sont uniques

    Soit A = ( 3 1 1 2 ) . On a S ( A ) = ( 0 1 1 0 ) ( 3 1 1 2 ) ( 0 1 1 0 ) = ( 2 1 1 3 )

    Donc A + = 1 2 [ ( 3 1 1 2 ) + ( 2 1 1 3 ) ] = 1 2 ( 1 0 0 1 )

    et A = 1 2 [ ( 3 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ] = 1 2 ( 5 2 2 5 )

    1. On a vu que S ( M N ) = S ( M ) S ( N ) pour toutes matrices M et N .

      Donc si M et N appartiennent à alors S ( M N ) = M N donc M N .

      Si M et N appartiennent à 𝒢 alors S ( M N ) = M ( N ) = M N donc M N .

      et si l'un est dans et l'autre dans G , le produit est dans 𝒢 .

      Conclusion :

      Le produit de deux éléments de 𝒢 est élément de .

    2. Soient M et N de 2 ( ) , alors M N = ( M + + M ) ( N + + N ) = M + N + + M + N + M N + + M N = ( M + N + + M N ) + ( M + N + M N + ) et comme ( M + N + + M N ) et ( M + N + M N + ) 𝒢 en revenant à la définition (uniques vecteurs tels que ...) on a

      Conclusion :

      ( M N ) + = M + N + + M N et ( M N ) = M + N + M N +