ESCP 1999

Soit 2 ( ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et soit J la matrice J = ( 0 1 1 0 )

On considère l'application S de 2 ( ) dans lui-même qui associe à tout élément M de 2 ( ) l'élément S ( M ) = J M J .

    1. Montrer que l'application S ainsi définie est un automorphisme de l'espace vectoriel 2 ( ) . Quel est l'automorphisme réciproque de S ?

    2. Montrer que si M et N sont deux éléments quelconques de 2 ( ) , on a S ( M N ) = S ( M ) S ( N )

  1. On considère les éléments I = ( 1 0 0 1 ) J = ( 0 1 1 0 ) K = ( 1 0 0 1 ) L = ( 0 1 1 0 )

    Montrer que ( I , J , K , L ) forme une base de l'espace vectoriel 2 ( ) .

  2. Montrer que I , J , K , L sont des vecteurs propres de S . Déterminer la matrice représentant l'auto-morphisme S dans la base ( I , J , K , L ) .

  3. Soit l'ensemble des éléments M de 2 ( ) vérifiant S ( M ) = M et soit 𝒢 l'ensemble des éléments M de 2 ( ) (R) Vérifiant S ( M ) = M . Montrer que et 𝒢 sont des sous-espaces vectoriels de 2 ( ) et que tout élément M de 2 ( ) peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme M = M + + M avec M + et M 𝒢 .

    A titre d'exemple, déterminer les matrices A + et A lorsque A = ( 3 1 1 2 ) .

    1. Montrer que le produit de deux matrices appartenant à appartient aussi à . Que peut-on dire du produit de deux éléments de 𝒢 ?

    2. Plus précisément, pour deux matrices M et N de 2 ( ) , exprimer ( M N ) + et ( M N ) en fonction de M + , M , N + et N .