Corrigé EML 2006 par Pierre Veuillez

On considère les trois matrices de 2 ( ) suivantes :

A = ( 0 1 0 1 ) , D = ( 0 0 0 1 ) , U = ( 1 0 0 0 )

    1. Comme A est triangulaire, ses valeurs propres sont sur sa diagonale : 0 et 1 .

    2. Comme on a deux valeurs propres distinctes, il suffit d'avoir deux vecteurs propres pour avoir une base :

      A ( 1 0 ) = 0 donc ( 1 , 0 ) est vecteur propre associé à 0.

      A ( 1 1 ) = ( 1 1 ) donc ( 1 , 1 ) est vecteur propre associé à ( 1 , 1 )

      Donc ( ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) ) est une base de vecteurs propres

      et avec P = ( 1 1 0 1 ) on a A = P D P 1 .

    On note E l'ensemble des matrices carrées M d'ordre 2 telles que : A M = M D

    1. E est inclus dans 2 ( )

      0 E car A 0 = 0 = 0 D

      Soient M et N de E et α et β réels alors

      A ( α M + β N ) = α A N + β A M = α N D + β M D = ( α M + β N ) D

      Donc ( α M + β N ) E

      Conclusion :

      E est un sous espace vectoriel de 2 ( )

    2. Soit M = ( x y z t ) une matrice de 2 ( )

      On a A M = ( z t z t ) et M D = ( 0 y 0 t )

      Donc M appartient à E si et seulement si { z = 0 y = t z = 0 t = t

      Conclusion :

      Donc M appartient à E si et seulement si z = 0 et y = t

    3. on paramètre alors les solutions :

      E = { ( x y z t ) / z = 0  et  y = t } = { ( x t 0 t ) / x , t } = V e c t ( ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 1 ) )

      Donc E = V e c t ( U , A )

      qui est donc génératrice de E et qui est libre donc

      Conclusion :

      ( U , A ) est une base de E .

    4. On a U A = ( 0 1 0 0 ) qui ne vérifie pas la seconde équation " y = t " car 0 1

      Conclusion :

      U A n'est pas élément de E

  1. On note f : 2 ( ) 2 ( ) l'application définie , pour tout M 2 ( ) , par :
    f ( M ) = A M M D .

    1. Pour tout M 2 ( ) on a f ( M ) 2 ( )

      Soient M et N de 2 ( ) et α et β réels alors

      f ( α M + β N ) = A ( α M + β N ) ( α M + β N ) D = α A N + β A M α N D + β M D = α ( A M M D ) + β ( A N N D ) = α f ( M ) + β f ( N )

      Conclusion :

      f est un endomorphisme de 2 ( )

    2. M ker ( f ) A M M D = 0 M E

      Conclusion :

      ker f = E et dim ( ker f ) = 2
      puisque ( U , A ) en est une base.

    3. D'après le théorème du rang on a alors dim ( I m ( f ) ) = 4 2 = 2

      Conclusion :

      dim ( I m ( f ) ) = 2

    4. Soit M = ( x y z t ) alors f ( M ) = ( z t z t ) ( 0 y 0 t ) = ( z t y z 0 )

      et f ( M ) = M { z = x y = t y z = z t = 0 { z = x y = 0 0 = 0 t = 0

      Donc l'ensemble de ces matrice est E 1 = { ( x 0 x 0 ) / x }

      Comme E 1 { 0 } alors 1 est valeur propre de f .

      De même et f ( M ) = M { z = x y = t + y z = z t = 0 { x = 0 0 = 0 z = 0 t = 0

      Donc l'ensemble de ces matrices est E 1 = { ( 0 y 0 0 ) / y } { 0 }

      Donc 1 est valeur propre de f .

    5. Les sous espaces propres de f sont de dimension

      • 2 pour la valeur propre 0

      • 1 pour la valeur propre 1 (famille génératrice ( 1 0 1 0 ) qui est donc une base)

      • 1 pour la valeur propre 1 (base ( ( 0 1 0 0 ) )

      Comme 2 + 1 + 1 = 4 alors

      Conclusion :

      f est diagonalisable

    6. Dans une base de vecteurs propres la matrice de f sera ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

      et celle de f 3 sera donc ( 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 ( 1 ) 3 )

      Donc m a t ( f 3 ) = m a t ( f )

      Conclusion :

      f f f = f