EML 2006

On considère les trois matrices de 2 ( ) suivantes :

A = ( 0 1 0 1 ) , D = ( 0 0 0 1 ) , U = ( 1 0 0 0 )

    1. Quelles sont les valeurs propres de A ?

    2. Déterminer une matrice inversible P telle que A = P D P 1

    On note E l'ensemble des matrices carrées M d'ordre 2 telles que : A M = M D

    1. Vérifier que E est un sous espace vectoriel de 2 ( )

    2. Soit M = ( x y z t ) une matrice de 2 ( )

      Montrer que M appartient à E si et seulement si : z = 0 et y = t

    3. Etablir que ( U , A ) est une base de E .

    4. Calculer le produit U A . Est-ce que U A est élément de E ?

  1. On note f : 2 ( ) 2 ( ) l'application définie , pour tout M 2 ( ) , par :
    f ( M ) = A M M D .

    1. Vérifier que f est linéaire.

    2. Déterminer le noyau de f et donner sa dimension.

    3. Quelle est la dimension de l'image de f ?

    4. déterminer les matrice M de 2 ( ) telles que f ( M ) = M .

      En déduire que 1 est valeur propre de f .

      Montrer que 1 est aussi valeur propre de f .

    5. Est-ce que f est diagonalisable ?

    6. Montrer que f f f = f