ESSEC 2002



Dans cet exercice, on désigne par p un nombre entier naturel non nul et par p [ X ] l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à p .

  1. Étude d'un endomorphisme φ de p [ X ]

    1. On associe à toute fonction polynôme P la fonction P ^ définie sur par : P ^ ( x ) = 1 x 1 1 x P ( t ) t si  x 1    et P ^ ( 1 ) = P ( 1 ) Montrer que la fonction x 1 x P ( t ) t est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
      Montrer que la fonction P ^ est une fonction polynôme de même degré que P lorsque P 0 .

    2. On considère l'application φ associant à toute fonction polynôme P appartenant à p [ X ] la fonction polynôme P ^ définie ci-dessus.
      Montrer que φ est un endomorphisme de p [ X ] . Est-il injectif ? surjectif?

    3. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes e k : x x k pour 0 k p , puis en déduire la matrice de φ dans la base canonique de p [ X ] .

    4. Quelles sont les valeurs propres de φ ? φ est-il diagonalisable?

  2. Étude des éléments propres de l'endomorphisme φ

    1. Déterminer les fonctions propres de φ associée à la valeur propre 1.

    2. On considère une valeur propre λ de φ et une fonction polynôme propre associée P .
      Montrer que, pour tout nombre réel x : ( 1 λ ) P ( x ) = λ ( x 1 ) P ( x ) En déduire, si λ 1 , que 1 est nécessairement racine de P .

    3. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes P k : x ( x 1 ) k pour 0 k p et montrer que ( P 0 , P l , , P p ) est une base de p [ X ] .

    4. On considère une fonction polynôme P exprimée comme suit dans la base précédente : P = a 0 P 0 + a 1 P 1 + + a p P p

      Montrer que a 0 = P ( 1 ) , calculer Φ 1 = φ ( P ) , Φ 2 = ( φ φ ) ( P ) puis Φ n = φ n ( P ) pour n * .
      Déterminer pour tout nombre réel x la limite de Φ n ( x ) quand n tend vers + et en déduire en particulier que, si P ( x ) = x p , la limite de Φ n ( x ) quand n tend vers + est égale à 1.

  3. Application à une marche aléatoire
    Un individu se déplace sur les points d'abscisse 0, 1, 2, p selon les règles suivantes :
    il est au point d'abscisse p à l'instant 0.
    il est au point d'abscisse k ( 0 k p ) à l'instant n ( n ) , il est de façon équiprobable en l'un des k + 1 points d'abscisses 0 , 1 , , k à l'instant n + 1 .

    Pour tout nombre entier naturel n , on désigne par X n la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant n et par E ( X n ) , son espérance.

    1. Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité P ( X n + 1 = k ) 0 k p en fonction des probabilités P ( X n = 0 ) , P ( X n = 1 ) , \dots P ( X n = p ) .

    2. En déduire une matrice carrée M telle que U n + 1 = M U n U n désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas P ( X n = 0 ) , P ( X n = 1 ) , \dots P ( X n = p ) .

    3. Exprimer le produit matriciel ( 0 1 2 p ) M en fonction de ( 0 1 2 p ) . En multipliant l'égalité U n + 1 = M . U n à gauche par la matrice-ligne ( 0 1 2 p ) , exprimer E ( X n + 1 ) en fonction de E ( X n ) puis préciser E ( X n ) en fonction de n ainsi que sa limite.

    4. Préciser U 0 , puis donner U n en fonction de M et de n .
      En déduire, à l'aide de la question 2.d que les p + 1 composantes de U n ont pour limites (de haut en bas) 1, 0, 0, ... , 0 quand n tend vers + puis interpréter ce résultat.