ESCP 2003

Dans tout le problème, on désigne par 𝒞 l'espace vectoriel des applications continues de dans .
À toute application f de 𝒞 , on associe l'application D ( f ) de dans définie par: x , D ( f ) ( x ) = f ( x + 1 ) f ( x ) Les parties A, B et C sont indépendantes.

Question préliminaire: D est-il un endomorphisme de 𝒞 ?

Partie A : Image par D d'une fonction de répartition

  1. Soit F une application de 𝒞 . Rappeler les propri\et\es que doit poss\eder F pour \etre consid\er\ee comme une fonction de r\epartition.

  2. Soit F une application de 𝒞 qui est une fonction de r\epartition et g l'application D ( F ) .

    1. Montrer que g est positive.

    2. Prouver, pour tout r\eel x , la double in\egalit\e: F ( x ) x x + 1 F ( t ) d t F ( x + 1 ) .
      En d\eduire que les limites ; lim x x x + 1 F ( t ) d t ; et ; lim x + x x + 1 F ( t ) d t ; existent et pr\eciser leurs valeurs.

    3. Soit A et B deux r\eels v\erifiant A < 0 < B et I ( A , B ) l'int\egrale: I ( A , B ) = A B g ( t ) d t .
      Justifier l'\egalit\e: I ( A , B ) = B B + 1 F ( t ) d t A A + 1 F ( t ) d t ;.

    4. Prouver alors soigneusement que g est une densit\e de probabilit\e.

  3. Un exemple
    On suppose, dans cette question, que F est la fonction de r\epartition d'une variable al\eatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [ 0 , 1 ] et on pose: g = D ( F ) .
    D\eterminer g ( x ) pour tout r\eel x , en distinguant les cas x < 1 ,; 1 x < 0 , ; 0 x < 1 ; et ; 1 x . Repr\esenter graphiquement l'application g .

Partie B : Recherche des valeurs propres de D

Si λ est un r\eel, on dit que λ est une valeur propre de D s'il existe une application f de 𝒞 , distincte de l'application nulle, v\erifiant: ; D ( f ) = λ f ;.

  1. Soit a un r\eel. On note g a l'application de 𝒞 d\efinie par:; x , g a ( x ) = e a x .
    D\eterminer l'application D ( g a ) .

  2. En d\eduire que tout r\eel λ strictement sup\erieur \a 1 est une valeur propre de D .

  3. Soit a un r\eel. On note h a l'application de 𝒞 d\efinie par:; x , h a ( x ) = sin ( π x ) e a x .
    D\eterminer l'application D ( h a ) .

  4. En d\eduire que tout r\eel λ strictement inf\erieur \a 1 est une valeur propre de D .

  5. Le r\eel 1 est-il une valeur propre de D ?

Partie C : Image par D d'une application polynomiale

Pour tout entier naturel p , on désigne par E p le sous-espace de 𝒞 dont les éléments sont les applications polynomiales de degré au plus p .
On note X l'application x x et, pour tout entier naturel non nul k , on note X k l'application x x k .
Soit ( H i ) i la suite d'applications polynomiales définie par: H 0 = 1    et    i * , H i = 1 i ! k = 0 i 1 ( X k )

  1. Pr\eciser H 1 , H 2 , H 3 et montrer que 𝒰 3 = ( H 0 , H 1 , H 2 , H 3 ) est une base de E 3 .

  2. Soit 3 = ( 1 , X , X 2 , X 3 ) la base canonique de E 3 .

    1. \Ecrire la matrice de passage P de la base 3 \a la base 𝒰 3 et calculer la matrice P 1 .

    2. Soit; a 0 , a 1 , a 2 , a 3 des r\eels et Q l'application polynomiale a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 .
      Quelles sont les coordonn\ees de Q dans la base 𝒰 3 ?
      En particulier, v\erifier l'\egalit\e: ; X 3 = H 1 + 6 H 2 + 6 H 3 .

  3. Application: moment d'ordre 3 d'une variable al\eatoire de Poisson
    Soit a un r\eel strictement positif et Z une variable al\eatoire suivant la loi de Poisson de param\etre a .

    1. Pour tout entier naturel n sup\erieur ou \egal \a 3 , on pose: ; S n = k = 0 n k 3 a k k ! .
      Transformer S n \a l'aide de la relation:; k , k 3 = H 1 ( k ) + 6 H 2 ( k ) + 6 H 3 ( k ) .
      En d\eduire que la s\erie de terme g\en\eral ; n 3 a n n ! ;est convergente et pr\eciser ;

    2. En déduire que la variable aléatoire Z admet un moment d'ordre 3 donné par: E ( Z 3 ) = a + 3 a 2 + a 3

  4. Dans cette question, p est un entier naturel non nul fix\e.

    1. Montrer que, si Q appartient \a E p , D ( Q ) appartient aussi \a E p .
      On note alors D p l'endomorphisme de E p qui, \a tout Q de E p , associe D ( Q ) .

    2. Montrer que la famille ; 𝒰 p = ( H 0 , H 1 , , H p ) est une base de E p .

    3. D\eterminer D p ( H 0 ) , D p ( H 1 ) et prouver, pour tout entier i v\erifiant 0 < i p , l'\egalit\e : \break D p ( H i ) = H i 1 ;.

    4. \Ecrire la matrice M p repr\esentative de D p dans la base 𝒰 p .

    5. Pr\eciser la ou les valeurs propres de M p . Cette matrice est-elle diagonalisable?

  5. Application: moment d'ordre p d'une variable aléatoire de Poisson
    Soit p un entier naturel non nul fixé et b 0 , b 1 , , b p les réels vérifiant X p = b 0 H 0 + b 1 H 1 + + b p H p Par une méthode analogue à celle de la question Poisson, montrer que la variable aléatoire Z définie dans la question Poisson admet un moment d'ordre p donné par

  6. Dans cette question, p est un entier naturel non nul et, pour tout entier i vérifiant 0 i p , on considère l'application ϕ i de E p dans qui, à tout élément Q de E p , associe le réel : ϕ i ( Q ) = k = 0 i ( 1 ) i k C i k Q ( k ) C i k désigne le coefficient binomial d'indices i et k .

    1. Montrer que, pour tout entier i v\erifiant 0 i p , l'application ϕ i est lin\eaire.

    2. Soit i et j deux entiers vérifiant 0 i p et 0 j p ; établir les égalités: ϕ i ( H i ) = 1    et si j i , ϕ i ( H j ) = 0

    3. En déduire, pour tout entier i vérifiant 0 i p , la relation: b i = k = 0 i ( 1 ) i k C i k k p .