On étudie les variations de la différence :
est dérivable sur
et
En
on a
et
en
on a :
avec
on a
donc
quand
On applique alors le théorème de bijection :
est continue et strictement croissante donc bijective de
sur
Comme
alors l'équation
a une unique
solution que l'on notera
et
également.
Comme
car
et
d'après les valeurs approchées,
alors
donc
est de classe
sur
On a
et
Donc
et par substitution :
Comme
cette
équation a une unique solution.
Il existe donc un unique couple
qui annule les
deux dérivées partielles et il vérifie
Comme
est un ouvert, il suffit de vérifier la
condition suffisante d'étrémum :
Soit
et
On a
donc cette
quantité est strictement positive en
et
c'est donc bien un extremum.
Comme de plus
c'est donc un minimum local de
On a, comme
et
On note
On résout :
Donc
a pour unique solution
est dérivable sur
et
On étudie enfin le signe de
et
Pour la courbe représentative, il ne faut pas oublier la tangente en
En
car
On démontre que pour tout entier
:
Pour
on a
;
donc
Soit
tel que
alors comme
est croissante sur
et que
et
en sont
éléments :
donc
et
pour tout entier
Comme
est croissante et majorée par
elle est convergente et
sa limite
vérifie
Donc
est continue en
et
La seule
solution étant
on a donc
qui converge vers
(D'après EML 1997)
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