(D'après EML 1997)
Le but de l'exercice est l'étude des extremums de la fonction f: 2 (x,y) x2 -2xy+2 y2 + e-x
    1. Établir que l'équation e-x =x, d'inconnue x, admet une unique solution et qu'elle apartient à l'intervalle ] 1 2 ,1[
      (On donne e#1.6487 et e=2.7183 )
    2. Montrer qu'il existe ( x0 , y0 ) 2 unique tel que :
      { f x ( x0 , y0 )=0 f y ( x0 , y0 )=0 et établir que { x0 - e- x0 =0 y0 = x0 2

    3. Montrer que f admet un extremum en ( x0 , y0 ). Est-ce un minimum ou un maximum ?
    4. Montrer que f( x0 , y0 )= x0 2 2 + x0
  1. On note g: [0,+[ x 1+x 1+ ex
    1. Montrer que l'équation g(x)=x, d'inconnue x[0,+[, admet une solution et une seule, que celle-ci est x0 .
    2. Former le tableau des variations de g et tracer sa courbe représentative (repère orthonormé, unité : 5 cm).
      On considère la suite ( un )n définie par u0 =0 et, pour tout n de ,   un+1 =g( un )
    3. Établir que la suite ( un )n est croissante et converge vers x0 .
(D'après EML 1997)



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On 18 May 2004, 00:02.