Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez
Pour tout réel a, on considère la fonction fa de ×R dans , définie par :


(x,y)×R, fa (x,y)=(1+y+xy+ ax2 ) ey .
N.B. les théorèmes sur les extrema ne s'appliqent que sur des ouverts. Il faut donc préciser que c'est sur un ouvert qu'on les applique.
Partie 1 : étude des extrema de fa
Dans cette partie, on suppose a0 et a-\dfrac12
    1. fa est de calsse C1 sur ×R.
      fa (x,y) x = ey (y+2ax) et
      fa (x,y) y = ey (1+y+xy+ ax2 )+(1+x) ey =(2+x+y+xy+ ax2 ) ey
    2. Sur l'ouvert ×R, si fa a un extremum, alors ses deux dérivéesd partielles prmières s'annulent :
      { fa (x,y) x =0 fa (x,y) y =0 { ey (y+2ax)=0 (2+x+y+xy+ ax2 ) ey =0 et comme ey 0
      { y=-2ax 2+x-2ax-2 ax2 + ax2 =0
      ( L2 )2+(1-2a)x- ax2 =0 est une équation du second degré car a0 qui a pour dicriminant :
      Δ= (1-2a)2 +8a=1+4a+4 a2 = (1+2a)2 >0 car a-1/2
      Donc ( L2 ) a pour solutions x1 = 2a-1+1+2a -2a =-2= et x2 = 2a-1-1-2a -2a = 1 a
      Donc les deux seuls points critiques de fa sont (-2,4a) et ( 1 a ,-2)
  1. fa est de classe C2 sur ×R et r= 2 fa (x,y) x2 =2 aey ,
    s= 2 fa (x,y) yx = ey (y+2ax)+ ey = ey (1+y+2ax)
    et 2 fa (x,y) y2 =(2+x+y+xy+ ax2 ) ey + ey (1+x)=(3+2x+y+xy+ ax2 ) ey
    1. On étudie séparément les deux points critiques :
      • En (-2,4a) on a : r=2 ae4a :s= e4a (1+4a-4a)= e4a :t=(3-4+4a-8a+4a) e4a =- e4a
        Donc rt- s2 =-2 ae4a e4a - e8a =-(2a+1) e8a
        Donc fa a un extremum local en ce point si et seulement si 2a+1<0 (le cas indéterminé rt- s2 =0 n'est pas possible car a-1/2)
      • En ( 1 a ,-2) on a : r=2 ae-2 :s= e-2 (1-2+2)= e-2 :t=(3+ 2 a -2- 2 a + a a2 ) e-2 =(1+ 1 a ) e-2
        Donc rt- s2 =2a(1+ 1 a ) e-2 e-2 - e-4 =(2a+1) e-4
        Donc fa a un extremum local en ce point si et seulement si 2a+1>0 (le cas indéterminé rt- s2 =0 n'est pas possible car a-1/2)
    2. Dans le cas d'un extremum, on détermine s'il est maximum ou minimum par le signe de r donc de a:
      • si a< -1 2 alors a<0 et fa a un extremum local uniquement en (-2,4a) qui est un maximum ( r<0)
        Ce maximum vaut : fa (-2,4a)=(1+4a-8a+4a) e4a = e4a .
      • si -1 2 <a<0 alors fa a un extrremum uniquement en ( 1 a ,-2) qui est un maximum ( r<0)
        Ce maximum vaut : fa ( 1 a ,-2)=(1-2- 2 a + 1 a ) e-2 =-(1+ 1 a ) e-2
      • enfin, si a>0> -1 2 alors fa a un extrremum uniquement en ( 1 a ,-2) qui est un minimum ( r>0)
        Ce maximum vaut : fa ( 1 a ,-2)=-(1+ 1 a ) e-2
Partie 2 : étude d'un fonction définie à l'aide de
fa
    1. Pour tout réel x et pour tout réel t inférieur à x, t x ey dy= [ ey ]y=t x = ex - et
      Et quand t-: t x ey dy ex .
      Donc I=\nolimits - x ey dy qui est impropre en -converge et vaut ex
    2. Pour tout réel x et t, on intégre par parties t x yey dy avec u(y)=y , v' (y)= ey , u' (y)=1 et v(y)= ey , les fonctions u et v étant de classe C1 sur .
      t x yey dy= [ yey ]y=t x - t x ey dy = xex - tet - [ ey ]y=t x = xex - tet - ex + et

      Avec le changement de variable s=-t+ quand t- on a tet =- se-s =-s/ es 0 car s << es quand s+.
      Donc t x yey dy xex - ex quand t-.
      Donc J=\nolimits - x yey dy converge et vaut (x-1) ex
    1. Soit Fa (x)=\nolimits - x fa (x,y)dy= - x (1+y+xy+ ax2 ) ey dy est impropre en -.
      Comme (1+y+xy+ ax2 )=(1+ ax2 )+y(1+x) et que
      • - x ey dy converge alors - x (1+ ax2 ) ey dy converge et vaut (1+ ax2 ) ex
      • - x yey dy converge donc - x y(1+x) ey dy converge et vaut (1+x)(x-1) ex =( x2 -1) ex
      alors - x (1+y+xy+ ax2 ) ey dy converge et vaut (1+ ax2 ) ex +( x2 -1) ex =(a+1) x2 ex
      Donc Fa est bien définie sur .
    2. On a vu que Fa (x)=(a+1) x2 ex pour tout x .
      Fa est dérivable sur et Fa ' (x)=(a+1)(2x+ x2 ) ex
      d'où les variations de Fa :
      x - - -2 - 0 + +
      2x+ x2 + 0 - 0 + 2 degré
      a>-1: Fa (x) 0 4(a+1) e-2 0 +
      a=1: Fa (x) 0 0 0 0
      a<-1: Fa (x) 0 4(a+1) e-2 0 -
      En -, on fait le changement de vraibale t=-x+ et x2 ex = t2 e-t = t2 / et 0 quand x-



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On 18 May 2004, 00:02.