EDHEC 1999
Pour tout réel a, on considère la fonction fa de ×R dans , définie par :


(x,y)×R, fa (x,y)=(1+y+xy+ ax2 ) ey .
Partie 1 : étude des extrema de fa
Dans cette partie, on suppose a0 et a-\dfrac12
    1. Calculer les dérivées partielles premières de fa .
    2. En déduire que fa possède deux points critiques (c'est-à-dire des couples de ×R en lesquels fa est susceptible de présenter un extremum local) et donner leurs coordonnées.
  1. Calculer les dérivées partielles secondes de fa .
    1. Examiner, pour chacun des deux points critiques, à quelle condition portant sur a, fa présente en ces points un extremum local.
    2. Déterminer, en distinguant trois cas, si fa présente sur ×R un maximum local ou un minimum local et donner sa valeur en fonction de

      a.
Partie 2 : étude d'un fonction définie à l'aide de
fa
    1. Pour tout réel x et pour tout réel t inférieur à x, calculer
      \nolimits t x ey dy.
      En déduire que l'intégrale I=\nolimits - x ey dy converge et donner sa valeur.

    2. Pour tout réel x, montrer grâce à une intégration par parties, que l'intégrale

      J=\nolimits - x yey dy converge et donner sa valeur.

    1. Déduire des deux questions précédentes que l'on définit bien une fonction Fa ,

      de dans , en posant :

      Fa (x)=\nolimits - x fa (x,y)dy.

    2. Après avoir écrit Fa (x) en fonction de a et de x, donner le tableau de variatio de Fa .
      ( On distinguera les trois cas : a=-1,a<-1 et a>-1 )



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.