EML 2003
On note e =exp(1), et \mathbb + * =]0;+[.
On considère, pour tout nombre réel a non nul, l'application fa :\mathbb + * ×\mathbb + * \mathbb définie par :
(x,y)\mathbb + * ×\mathbb + * ,    fa (x,y)=\dfracx e-x y-\dfracya

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes entre elles.
 
  I.  Première partie
Dans cette première partie, on prend a=-e, et on note g à la place de f- e . Ainsi, l'application g:\mathbb + * ×\mathbb + * \mathbb est définie par :
(x,y)\mathbb + * ×\mathbb + * ,   g(x,y)=\dfracx e-x y+\dfracye

  1. Montrer que g est de classe C2 sur \mathbb + * ×\mathbb + * .
  2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de g en tout point (x,y) de \mathbb + * ×\mathbb + * .
  3. Montrer qu'il existe un couple unique (x,y) de \mathbb + * ×\mathbb + * en lequel les deux dérivées partielles d'ordre 1 de g s'annulent, et calculer ce couple.
  4. Est-ce que g admet un extremum ?
 
  II.  Seconde partie
Dans cette seconde partie, on prend a=1.
On considère, pout tout entier n tel que n\geqslant1, l'application hn :]0;+[\mathbb définie par :
x]0;+[,    hn (x)= f1 (x, xn )=\dfracx e -x xn - xn

et l'application ϕn :]0;+[\mathbb définie par :
x]0;+[,    ϕn (x)= e -x - x2n-1

    1. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
      x]0;+[,    hn (x)=0 ϕn (x)=0

    2. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, l'équation hn (x)=0, d'inconnue x]0;+[, admet une solution et une seule, notée un , et que :
      0< un <1

    3. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : ln( un )=-\dfrac un 2n-1.
    4. En déduire : un 1 quand n+



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On 18 May 2004, 00:02.