Corrigé EDHEC 2005 par Pierre Veuillez

Soit f la fonction définie sur 2 par : ( x , y ) 2 , f ( x , y ) = x e x ( y 2 + 1 )

  1. La fonction ( x , y ) y est de classe C 2 à valeurs dans et y y 2 + 1 est de classe C 2 sur donc ( x , y ) y 2 + 1 est de classe C 2 sur 2 comme composée.

    ( x , y ) x est de classe C 2 sur 2 donc ( x , y ) x ( y 2 + 1 ) est de classe C 2 sur 2 (comme produit)

    et de même pour f .

    1. On a f x ( x , y ) = e x ( y 2 + 1 ) + x e x ( y 2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) = ( x ( y 2 + 1 ) + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) f y ( x , y ) = x e x ( y 2 + 1 ) x 2 y = 2 x 2 y e x ( y 2 + 1 )

    2. Donc sur l'ouvert 2 , si f a un extremum local alors f x ( x , y ) = 0 et f y ( x , y ) = 0 donc 2 x 2 y = 0 et x ( y 2 + 1 ) + 1 = 0

      Donc y = 0 et x = 1 ou bien x = 0 , mais alors x ( y 2 + 1 ) + 1 0

      Donc y = 0 et x = 1

      Conclusion :

      le seul point en lequel f peu présenter un extremum local est A = ( 1 , 0 )

    1. On a 2 f x 2 ( x , y ) = ( y 2 + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) + ( x ( y 2 + 1 ) + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) = ( y 2 + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) + ( x ( y 2 + 1 ) + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) = ( y 2 + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) ( x ( y 2 + 1 ) + 2 ) 2 f y x ( x , y ) = 2 y x e x ( y 2 + 1 ) + ( x ( y 2 + 1 ) + 1 ) e x ( y 2 + 1 ) x 2 y = 2 y x e x ( y 2 + 1 ) ( x ( y 2 + 1 ) + 2 ) 2 f y 2 ( x , y ) = 2 x 2 e x ( y 2 + 1 ) + 2 x 2 y e x ( y 2 + 1 ) 2 x y = 2 x 2 e x ( y 2 + 1 ) ( 2 x y 2 + 1 )

    2. On a alors en A : r = 2 f x 2 ( 1 , 0 ) = e 1 : s = 2 f y x ( 1 , 0 ) = 0 : t = 2 f y 2 ( 1 , 0 ) = 2 e 1

      et r t s 2 = 2 e 2 > 0 donc sur l'ouvert 2 f a un extremum local en A .

      Et comme r > 0

      Conclusion :

      c'est un minimum où f ( 1 , 0 ) = e 1 = 1 / e

    1. f ( x , y ) x e x = x ( e x ( y 2 + 1 ) e x )

      Comme y 2 + 1 1 alors

      • si x 0 alors x ( y 2 + 1 ) x et e x ( y 2 + 1 ) e x d'où e x ( y 2 + 1 ) e x 0 et
        x ( e x ( y 2 + 1 ) e x ) 0

      • si x 0 alors x ( y 2 + 1 ) x et e x ( y 2 + 1 ) e x d'où e x ( y 2 + 1 ) e x 0 et
        x ( e x ( y 2 + 1 ) e x ) 0

      Donc dans tous les cas : ( x , y ) 2 , f ( x , y ) x e x .

    2. g est dérivable sur et g ( x ) = ( x + 1 ) e x donc g est décroissante sur ] , 1 ] , minimum en 1 où elle vaut 1 / e et croissante sur [ 1 , + [ .

      Donc pour tout réels ( x , y ) : f ( x , y ) g ( x ) g ( 1 ) = 1 / e

      Donc le minimum local est bien un minimum global de f .

      Question subsidiaire : peut-on être strict ?

      Pour tout x 1 , g ( x ) > g ( 1 ) donc si x 1 , f ( x , y ) > 1 / e

      Et pour x = 1 on a f ( 1 , y ) = e y 2 + 1 > 1 / e si y 0

      Donc le minimum de f est un minimum strict.