ESC 2005

On considère la fonction de deux variables f définie sur l'ouvert U = ] 0 ; + [ × ] 0 ; + [ par : f ( ( x , y ) ) = x 2 ln y y ln x

  1. On note g la fonction définie sur ] 0 ; + [ par g ( t ) = 4 t 2 2 t ln t 1 .

    1. Montrer que g est C 2 sur son domaine et calculer g ( t ) et g ( t ) pour t > 0 .

    2. Etudier les variations de g sur ] 0 ; + [ puis celle de g sur ] 0 ; + [ .
      (On précisera à chaque fois les limites aux bornes)

    3. En déduire que l'équation g ( t ) = 0 admet une unique solution notée α .

    4. Vérifier que : ln α = 2 α 1 2 α

    1. Montrer que f est C 2 sur U .

    2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f .

    3. En déduire que si ( x 0 , y 0 ) est un point critique de f , alors x 0 > 1 et y 0 = ( x 0 ) 2 ln x 0 .

    4. Etablir alors que g ( ln x 0 ) = 0 .
      En déduire que f possède un unique point critique noté M , de coordonnées ( e α , e 2 α α ) α est le réel défini au 1.(c).

    1. Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f .

    2. En utilisant la relation de la question 1.(d) , montrer que 2 ln y 0 + y 0 ( x 0 ) 2 = 2 α .
      En déduire que la fonction f ne présente pas d'extremum.

  2. On définit sur l'application h telle que { h ( t ) = 36 5 f ( t , t ) lorsque t ] 0 ; 1 ] h ( t ) = 0 lorsque t 0  ou  t > 1

    1. Montrer que h est continue sur .

    2. Soit k un entier naturel non nul et a un réel de ] 0 ; 1 ] . Calculer a 1 t k ln t t .
      En déduire que l'intégrale 0 1 t k ln t t existe et vaut 1 ( k + 1 ) 2 .

    3. Montrer que pour tout réel t de ] 0 ; 1 ] , ( t 1 ) ln t 0 .
      En déduire que h est positive sur .

    4. Montrer que h est une densité de probabilité.