Corrigé par Pierre Veuillez

Déterminer la limite des quantités suivantes :

  1. x + : e x x 2 + ln ( x ) = e x ( 1 x 2 e x 0 + ln ( x ) e x 0 ) + car e x > > x 2 > > ln ( x )

  2. x + : ( x 1 ) e x x 2 = x e x + ( ( 1 1 x ) x e x 0 ) +

  3. x + : x 2 ln ( e x x ) = x 2 ln ( e x ( 1 x e x ) ) = x 2 ln ( e x ) ln ( 1 x e x ) = x 2 x ln ( 1 x e x ) = x 2 ( 1 1 x ) ln ( 1 x e x 0 ) +

    le ln peut se décomposer ainsi car en + , les termes sont positifs.

  4. x ± : x 2 + 1 x + 1 = x 2 ( 1 + 1 x 2 ) x + 1 = x 2 1 + 1 x 2 x + 1 = | x | x 1 + 1 x 2 + 1 2  ou  0

  5. x : y = x + x e x = y e y = y e y 0

  6. x : y = x + e x ln ( x 2 + x ) = e y ln ( y 2 y ) = ln ( y 2 ( 1 1 y ) ) e y = 2 ln ( y ) e y 0 + ln ( 1 1 y ) e y 0

  7. x + e x 2 x 4 = e x 2 ( 1 x 4 e x 2 ) = e x 2 ( 1 e 4 ln ( x ) e x 2 ) = e x 2 ( 1 e 4 ln ( x ) x 2 ) 4 ln ( x ) x 2 = x 2 ( 4 ln ( x ) x 2 1 ) et e x 2 ( 1 e 4 ln ( x ) x 2 ) +

  8. x 0 e 2 x 1 x = 2 e 2 x 1 2 x 2  car  e x 1 x 0 x

  9. x 0 on utilise le développement limité de e x = 1 + x + ϵ ( x ) avec ϵ ( x ) 0 e x e x x = 1 + x + x ϵ ( x ) ( 1 x x ϵ ( x ) ) x = x ( ϵ ( x ) ϵ ( x ) ) x = x ϵ 1 ( x ) 0

  10. x + ( x + 1 ) e 1 / x x = x ( ( 1 + 1 x ) e 1 / x 1 ) en faisant le changement de variable h = 1 / x 0 et en utilisant le développement limité de e h = 1 + h + h ϵ ( h )

    ( x + 1 ) e 1 / x x = ( 1 + h ) e h 1 h = ( 1 + h ) ( 1 + h + ϵ ( h ) ) 1 h = 2 h + h ϵ 2 ( h ) h = 2 + ϵ 2 ( h ) 2

  11. x 2 + : h = x 2 0 + 1 ( x 2 ) + ln ( x 2 4 ) = 1 h + ln ( ( h + 2 ) 2 4 ) = 1 h + ln ( h 2 + 4 h ) = 1 h + ln ( h ( 4 + h ) ) = 1 h + ln ( h ) + ln ( 4 + h ) = 1 h ( 1 + ln ( h ) 1 / h 0 ) + ln ( 4 + h ) ln ( 4 ) +