Corrigé par Pierre Veuillez

A. Etude sur ] 0 , + [

  1. Variations de f.

    1. f est défine (et dérivable) en tout x tel que e 2 x 1 0 ce que l'on résout: e 2 x 1 0 e 2 x 1 2 x 0 car exp est strictement croissante sur .

      Donc f est défibnie et dérivable sur *

    2. Pour tout x * , f ( x ) = 2 e 2 x ( e 2 x 1 ) 2 e 2 x ( e 2 x + 1 ) ( e 2 x 1 ) 2 = 2 ( e 4 x e 2 x e 4 x e 2 x ) ( e 2 x 1 ) 2 = 4 e 2 x ( e 2 x 1 ) 2 et comme un carré est toujours positif et une exponnentielle strictement posive, f < 0 sur *

  2. Limites.

    1. On a: f ( x ) = e 2 x + 1 e 2 x 1 = e 2 x 1 + 2 e 2 x 1 = e 2 x 1 e 2 x 1 + 2 e 2 x 1 = 1 + 2 e 2 x 1

    2. Comme e 2 x x + + on a alors 2 e 2 x 1 0 et f ( x ) x + 1

    3. Quand x 0 + , on a e 2 x 1 + (car exp est strictement croissantesur ) , e 2 x 1 0 + et 1 e 2 x 1 + d'où enfin f ( x ) x + +

  3. On a donc

    x 0 +
    f ( x ) ||
    || +
    f ( x ) ||
    || 1
    donc (sens de variations et limite en + ) f > 0 sur ] 0 , + [

    Déterminer le signe de f sur ] 0 , + [ .

  4. Primitives de f sur ] 0 , + [ .

    1. g est dérivable en tout x tel que e 2 x 1 > 0 donc sur * et g ( x ) = 1 e 2 x 1 e 2 x 2 1 = 2 e 2 x e 2 x + 1 e 2 x 1 = f ( x )

    2. Donc g est une primitive de f sur ] 0 , + [ .

    3. Comme g = f > 0 sur ] 0 , + [ , g est strictement croissante sur ] 0 , + [ .

      En 0 + , e 2 x 1 + (car exp est strictement croissante) et e 2 x 1 0 donc g ( x ) x 0 + .

    4. Comme e 2 x 1 = e 2 x ( 1 e 2 x ) , on a g ( x ) = ln ( e 2 x ( 1 e 2 x ) ) x = ln ( e 2 x ) + ln ( 1 e 2 x ) x car e 2 x > 0 et 1 e 2 x > 0

      donc g ( x ) = 2 x x + ln ( 1 e 2 x ) = x + ln ( 1 e 2 x )

      On a e 2 x x + 0 et ln ( 1 e 2 x ) x + 0 donc g ( x ) x + + .

    5. g est dérivable sur ] 0 , + [ et sa dérivée est strictement positive.

      Donc g est bijective de ] 0 , + [ dans ] lim x 0 g ( x ) , lim x + g ( x ) [ = ] , + [

      Or 0 ] , + [ . Donc l'équation g ( x ) = 0 a une unique solution dans ] 0 , + [ .

B. Construction de 𝒞 , la courbe représentative de f .

  1. Soit x 0 , on a f ( x ) + f ( x ) = e 2 x + 1 e 2 x 1 + e 2 x + 1 e 2 x 1 = ( e 2 x + 1 ) ( e 2 x 1 ) + ( e 2 x + 1 ) ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) = ( e 2 x + 1 ) ( e 2 x 1 ) + ( e 2 x + 1 ) ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) = e 2 x 2 x e 2 x + e 2 x 1 + e 2 x + 2 x + e 2 x + e 2 x 1 ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) = e 0 1 + e 0 1 ( e 2 x 1 ) ( e 2 x 1 ) = 0 Donc f ( x ) = f ( x ) et f est impaire. Donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

  2. 𝒞 a donc pour asymptote les droites d'équation x = 0 en 0 + et en 0 par symétrie et celles d'équation y = 1 en + et y = 1 en par symétrie.

    f ( ln ( 3 ) ) = e 2 ln ( 3 ) + 1 e 2 ln ( 3 ) 1 = 3 2 + 1 3 2 1 = 10 8 = 5 4 f ( ln ( 3 ) ) = 4 e 2 ln ( 3 ) ( e 2 ln ( 3 ) 1 ) 2 = 4 3 2 ( 3 2 1 ) 2 = 4 3 2 8 2 = 9 16

    Pour construire 𝒞 on place d'abord les asymptotes et la tangente en ln ( 3 ) grace à la valeur et à la pente (coefficient directeur) de la tangente en ce point.