Soit f la fonction définie sur * par f ( x ) = e 2 x + 1 e 2 x 1 .

On se propose de construire la courbe représentative de f .

A. Etude sur ] 0 , + [

  1. Variations de f.

    1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de f .

    2. Soit f la fonction dérivée de f . Montrer que f ( x ) = 4 e 2 x ( e 2 x 1 ) 2 et déterminer son signe.

  2. Limites.

    1. Montrer que pour tout x de * , f ( x ) = 1 + 2 e 2 x 1 .

    2. En déduire la limite de f en + .

    3. Déterminer la limite de f en 0 par valeur strictement supérieure.

  3. En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variations de f sur ] 0 , + [ .

    Déterminer le signe de f sur ] 0 , + [ .

  4. Primitives de f sur ] 0 , + [ .

    1. Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction g définie par: g ( x ) = ln ( e 2 x 1 ) x .

    2. En déduire une primitive de f sur ] 0 , + [ .

    3. Déterminer le sens de variation de g et sa limite en 0 par valeur supérieure.

    4. En écrivant e 2 x 1 = e 2 x ( 1 e 2 x ) , déterminer la limite de g en + .

    5. Montrer que l'équation g ( x ) = 0 a une unique solution sur ] 0 , + [ .

B. Construction de 𝒞 , la courbe représentative de f .

  1. Montrer que pour tout x non nul, f ( x ) + f ( x ) = 0 . En déduire les symétries de 𝒞 .

  2. Déterminer les équations des asymptotes de 𝒞 .

    Calculer f ( ln ( 3 ) ) et f ( ln ( 3 ) ) . ( on donnera leur valeur exacte)

    Construire 𝒞 et ses asymptotes. On donne les valeurs approchées:

    ln ( 3 ) 5 / 4 9 / 16 9 / 32
    1 , 1 1 , 2 0 , 6 0 , 3