Corrigé par Pierre Veuillez

  1. f ( x ) = 1 / ln ( x ) n f est dérivable en x tel que x > 0 et ln ( x ) 0 x 1 car exp est strictement croissante sur et que ln ( x ) et 0 en sont éléments. f ( x ) = n ln ( x ) n + 1 1 x Il faut déterminer le signe de ln ( x ) n + 1 qui dépend du signe de ln ( x ) et de la parité de n :
    si n pair, n + 1 impair
    x 0 1
    ln ( x ) - 0 +
    ln ( x ) n + 1 - 0 +
    f ( x ) - +
    et
    pour n impair :
    x 0 1
    ln ( x ) - 0 +
    ln ( x ) n + 1 + 0 +
    f ( x ) + +
  2. f ( x ) = 1 / ln ( x 3 2 ) dérivable en x tel que x 3 > 0 et x 3 2 > 0 et ln ( x 3 2 ) 0. x 3 2 > 0 x 3 > 2 x 3 > 4 car mla fonction carré est strictement croissante sur [ 0 , + [ et x 3 et 2 en sont éléments. x > 7 ln ( x 3 2 ) 0 x 3 2 e 0 car exp est strictement croissante sur x 3 3 x 3 9 car la fonction carré est strictement croissante sur + et que x 3 et 9 en sont éléments. x 12 donc f est dérivable sur ] 7 , 12 [ ] 12 , + [ et f ( x ) = 1 ln ( x 3 2 ) 2 1 x 3 2 1 2 x 3 1 < 0 car un carré est strictement positive puisque le dénominateur n'est pas nul sur l'ensemeble de dérivablité.
  3. f ( x ) = ln ( x ) 2 ln ( x ) f est dérivable en x tel que x > 0 et 0 < ln ( x ) 2 ln ( x ) = ln ( x ) ( ln ( x ) 1 ) > 0.
    x 0 1 e
    ln ( x ) 0 + +
    ln ( x ) + 1 0 +
    ln ( x ) 2 ln ( x ) + 0 0 +
    donc ] 0 , 1 [ ] e , + [ f ( x ) = 1 2 ln ( x ) 2 ln ( x ) ( 2 ln ( x ) 1 x 1 x ) = 1 2 x ln ( x ) 2 ln ( x ) > 0 ( 2 ln ( x ) 1 )
    x 0 1 e e 2
    2 ln ( x ) 1 0 +
    f ( x ) X 0 +
  4. f ( x ) = x x Il faut d'abord réécrire f ( x ) = exp ( x ln ( x ) ) f est dérivable en x tel que x > 0 donc sur * + . f ( x ) = e x ln ( x ) ( 1 2 x ln ( x ) + x x ) = e x ln ( x ) > 0 ( ln ( x ) + 2 2 x ) et x 0 e 2 ln ( x ) + 2 - 0 + f ( x ) - 0 +
  5. f ( x ) = e 1 / x x ( x + 2 ) dérivable en x tel que x 0 et x ( x + 2 ) > 0 polynôme du second degré. Donc sur ] , 2 [ ] 0 , + [ . f ( x ) = e 1 / x 1 x 2 x ( x + 2 ) + e 1 / x 1 2 x ( x + 2 ) ( x + 2 + x ) = e 1 / x x ( x + 2 ) 2 + x 2 ( x + 1 ) x 2 x ( x + 2 ) = e 1 / x ( x 2 2 x + x 3 + x 2 x 2 x ( x + 2 ) ) = e 1 / x x 3 2 x x 2 x ( x + 2 ) = e 1 / x > 0 x 2 2 x x ( x + 2 ) > 0
    x 2 2 0 2
    x 2 2 + + 0 0 + 2 ° degré
    x 0 + +
    f ( x ) + || X X X || 0 +
  6. f ( x ) = x 2 3 / x 4 . f est définie en x tel que x 2 3 0 et x 4 0 et dérivable en x tel que x 2 3 > 0 et x 4 0. Or x 2 3 est polynôme du second degré et a pour racines 3 et 3 . Donc f est dérivable sur ] , 3 [ ] 3 , + [ . f ( x ) = 1 2 x 2 3 2 x x 4 4 x 3 x 2 3 ( x 4 ) 2 = x 3 ( 1 2 x 2 3 2 x x 4 x 2 3 ) x 8 = x 2 4 x 2 3 2 x 2 3 x 5 = x 2 4 ( x 2 3 ) x 5 x 2 3 = 3 x 2 + 12 x 5 x 2 3 = 3 ( x 2 4 ) x 5 x 2 3
    x 2 3 3 2
    3 ( x 2 4 ) 0 + + 0 2 ° degré
    x 5 + +
    f ( x ) + 0 || X || + 0