Corrigé EML 2004 par Pierre Veuillez
On considère l'application f:\BbbR\BbbR définie, pour tout t\BbbR par :
f(t)= 2 et 1+ t2

  1. f est dérivable sur \BbbR et
    f' (t) = 2 et 1+ t2 - et 1 21+ t2 (2t) 1+ t2 2 = 2 et 1+ t2 -t (1+ t2 )1+ t2

    On étudie le signe du polynôme du second degré t2 -t+1 qui a pour discriminant Δ=1-4<0
    Donc pour tout t\BbbR: t2 -t+1>0 et f' (t)>0 et f est strictement croissante sur \BbbR.
    Etude aux bornes :
    En -:f(t)0
    En +:
    f(t) = 2 et t2 (1+1/ t2 ) = 2 et |t|(1+1/ t2 ) = et t 2 (1+1/ t2 ) +    car t=o( et )

    (L'étude des branches infinies n'était pas demandé, une seule valeur simple : en 0 où f(0)=2 )
    x - 0 +
    f(t) 0 2 +
    1. Pour la première inégalité, on étudie les variations de la fonction :
      g(t)=2 et -t- t2
      g est dériavble sur \BbbR et g' (t)=2 et -1-2t
      g' est dériavble sur \BbbR et g'' (t)=2 et -2=2( et -1), d'où
      t 0 +
      et -1 0 +
      g'' (t) 0 +
      g' (t) 1 +
      g(t) 2 +
      Et donc pour tout t[0,+[ :    2 et -t- t2 >0
      On résout la seconde équation : pour t0
      1+t1+ t2 (1+t)2 1+ t2 2 car la fonction carré est stritement croissante sur \Bbb R+ et que 1+t et 1+ t2 en sont éléments
      1+2t+ t2 1+ t2 2t0 ce qui et vrai sur \Bbb R+
      Donc pour tout t[0,+[ :    1+t1+ t2
    2. On résout à présent f(t)>t pour t0:
      2 et 1+ t2 >t2 et >t1+ t2 ?

      On change d'angle d'attaque : 1+t1+ t2 donc si 2 et >t(1+t) alors 2 et >t1+ t2 : rédaction
      Comme 2 et -t- t2 >0 alors 2 et >t(1+t)
      Comme 1+t1+ t2 et t0 alors t(1+t) t1+ t2
      Et donc 2 et >t(1+t)t1+ t2 et finalment 2 et 1+ t2 >t ou encore
      t[0,+[,   f(t)>t

  2. On considère la suite réelle ( un )n0 définie par u0 =1 et, pour tout n\BbbN :
    un+1 =f( un )

    1. Pour montrer que un tend vers +, on montre d'abord qu'elle est croissante.
      Et pour celà, on utilise que f(t)>t pour t0 avec t= un .
      • Il faut donc montrer d'abord que n\BbbN    un 0:
        Comme f>0 sur \BbbR, on a un+1 =f( un )>0.
        Donc si n1 alors \Bbb un 0 et de plus u0 0
        Donc pour tout entier n, un 0
      • On peut alors utiliser un+1 =f( un ) un
        La suite u est donc croissante.
      En raisonnant ensuite l'absurde, on montre qu'elle n'est pas majorée par une constante :
      Si u est majorée par une constante alors la suite est convergente vers une limite 0 (car un 0)
      Et comme f est continue en , on aalors f()=. Or f()>
      Donc la suite u n'est pas majorée.
      Elle est donc croissante et non majorée et tend donc vers +.
    2. Il faut calculer les valeurs successives de un et de n jusqu'à ce que un > 10-6 (le plus petit entier n'est pas n=1 )
      program prem;
      var u:real;n:integer;
      begin
             n:=0;u:=1;
             repeat
                     u:=2*exp(u)/sqrt(1+sqr(u));n:=n+1;
             until u 1E-6;
             writeln(n);
      end.
  3. On considère l'application G:\BbbR\BbbR définie, pour tout x\BbbR par :
    G(x)= -x +x f(t)dt

    1. Comme f est continue sur \BbbR alors G est définie pour tout x\BbbR.
      Et pour tout x\BbbR, -x\BbbR et G(-x)= x -x f(t)dt=- -x +x f(t)dt=-G(x)
      Donc G est impaire.
    2. Comme f est continue sur J=\BbbR, que xx et x-x sont de classe C1 sur I=\BbbR à valeur dans J=\BbbR, alors G est de classe C1 sur \BbbR et
      G' (x)=1f(x)-1.f(-x)=f(x)+f(-x)=2 ex + e-x 1+ x2
    3. Comme on ne sait pas primitiver f, on obtient la limtie de G par minoration :
      • Pour tout t0:f(t)0 donc pour x>0 on a -x<0 et -x 0 f(t)dt0
      • Pour tout t0:f(t)t donc pour x>0 on a :
        0 +x f(t)dt 0 +x tdt= x2 /2
      Donc pour tout x>0 on a G(x) x2 /2 et par minoration, G(x)+ quand x tend vers + ?
    4. Comme G' (x)=2 ex + e-x 1+ x2 est strictement positive sur \BbbR alors G est strictement croissante sur \BbbR.
      En 0 elle est nulle (soit 0 0 f(t)dt=0, soit par imparité G(-0)=-G(0) donc 2G(0)=0 et G(0)=0 ) sa dérivée y vaut 4 (pente de la tangente)
      En +, G tend vers + donc par imparité, G tend vers - en -
      x - 0 +
      G(t) - 0 +



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:24.