HEC 1994

  1. Fonction définie par une intégrale. (HEC 94)

    Pour tout entier n on note f n la fonction définie sur [0,1] par: f n ( x ) = 0 x e n t 2 t x 1 e n t 2 t .

      1. Montrer que f n est dérivable sur [0,1].

      2. Etudier le sens de variation de f n .

    1. Montrer qu'il existe un unique réel c n de [0,1] tel que: 0 c n e n t 2 t = c n 1 e n t 2 t et donner la valeur de c 0 .

    2. On considère la suite ( c n ) n 0 définie à la question précédente; montrer qu'elle est décroissante et qu'elle converge vers une limite appartenant à [ 0 , 1 ] .

      1. Montrer que pour tout nombre réel fixé r de ] 0 , 1 ] , lim n + 0 r e n t 2 t = +

        (On pourra prouver que e x x )

      2. Montrer que pour tout entier naturel n on a c n 1 e n t 2 t 1.

      3. En déduire la valeur de .

    (HEC 94)