-
Tracer l'allure de la courbe représentative de
f
.
-
Montrer que
f
est une densité de probabilité.
-
Montrer que, pour tout réel
x
,
l'intégrale
∫
−
∞
x
f
⁡
(
t
)
⁢
ⅆ
t
converge, et calculer cette intégrale.
On distinguera les cas
x
≤
0
et
x
>
0
.
-
Déterminer un réel positif
α
tel que
∫
0
α
f
⁡
(
t
)
⁢
ⅆ
t
=
1
2
.
-
Soit
x
∈
[
0
,
+
∞
[
fixé.
On considère la fonction
ϕ
x
définie sur
[
0
;
+
∞
[
par :
∀
u
∈
[
0
,
+
∞
[
,
ϕ
x
(
u
)
=
∫
x
−
u
x
+
u
f
⁡
(
t
)
⁢
ⅆ
t
.
-
Calculer
ϕ
x
⁡
(
0
)
et
.
-
Montrer
:
∀
(
u
,
v
)
∈
(
[
0
,
+
∞
[
)
2
,
    
u
<
v
⟹
ϕ
x
⁡
(
v
)
−
ϕ
x
⁡
(
u
)
≥
∫
x
+
u
x
+
v
f
⁡
(
t
)
⁢
ⅆ
t
.
En déduire que
ϕ
x
est strictement croissante sur
[
0
;
+
∞
[
.
-
On admet que
ϕ
x
est continue sur
[
0
;
+
∞
[
.
Montrer que l'équation
ϕ
x
⁡
(
u
)
=
1
2
,
d'inconnue
u
,
admet une solution et une seule dans
[
0
;
+
∞
[
.
On note
U
:
[
0
;
+
∞
[
→
ℝ
l'application qui, à tout réel
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
associe
U
⁡
(
x
)
l'unique solution de l'équation
ϕ
x
⁡
(
u
)
=
1
2
.
Ainsi,
pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
on a :
∫
x
−
U
⁡
(
x
)
x
+
U
⁡
(
x
)
f
⁡
(
t
)
⁢
ⅆ
t
=
1
2
.
-
-
Vérifier, pour tout
x
∈
[
0
;
1
2
[
:
U
⁡
(
x
)
=
1
−
x
.
-
Pour tout
x
∈
[
1
2
;
+
∞
[
,
montrer
:
ϕ
x
⁡
(
x
)
≥
1
2
,
puis :
x
−
U
⁡
(
x
)
≥
0
,
et en déduire :
U
⁡
(
x
)
=
4
+
(
x
+
1
)
2
−
2
.
-
-
Montrer que l'application
U
est continue sur
[
0
;
+
∞
[
.
-
Etudier la dérivabilité de
U
sur
[
0
;
+
∞
[
-
Montrer que la droite d'équation
y
=
x
−
1
est asymptote à la courbe représentative de
U
.
-
Tracer l'allure de la courbe représentative de
U
.
-
On considère la suite réelle
(
a
n
)
n
∈
ℕ
définie par
a
0
=
1
∀
n
∈
ℕ
,
a
n
+
1
=
U
⁡
(
a
n
)
-
Montrer
:
∀
n
∈
ℕ
,
a
n
≥
1
2
.
-
Montrer que la suite
(
a
n
)
n
∈
ℕ
est décroissante.
-
En déduire que la suite
(
a
n
)
n
∈
ℕ
converge et montrer que sa limite est égale à
1
2
.
-
Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit
entier
n
∈
ℕ
tel que :
|
a
n
−
1
2
|
≤
10
−
6