EML 2005

On considère l'application , définie, pour tout réel t , par : f ( t ) = 0 si  t 0 1 ( 1 + t ) 2 si t > 0

  1. Tracer l'allure de la courbe représentative de f .

  2. Montrer que f est une densité de probabilité.

  3. Montrer que, pour tout réel x , l'intégrale x f ( t ) t converge, et calculer cette intégrale.

    On distinguera les cas x 0 et x > 0 .

  4. Déterminer un réel positif α tel que 0 α f ( t ) t = 1 2 .

  5. Soit x [ 0 , + [ fixé.

    On considère la fonction ϕ x définie sur [ 0 ; + [ par : u [ 0 , + [ , ϕ x ( u ) = x u x + u f ( t ) t .

    1. Calculer ϕ x ( 0 ) et .

    2. Montrer : ( u , v ) ( [ 0 , + [ ) 2 ,      u < v ϕ x ( v ) ϕ x ( u ) x + u x + v f ( t ) t .

      En déduire que ϕ x est strictement croissante sur [ 0 ; + [ .

    3. On admet que ϕ x est continue sur [ 0 ; + [ . Montrer que l'équation ϕ x ( u ) = 1 2 , d'inconnue u , admet une solution et une seule dans [ 0 ; + [ .

    On note U : [ 0 ; + [ l'application qui, à tout réel x [ 0 ; + [ , associe U ( x ) l'unique solution de l'équation ϕ x ( u ) = 1 2 .
    Ainsi, pour tout x [ 0 ; + [ , on a : x U ( x ) x + U ( x ) f ( t ) t = 1 2 .

    1. Vérifier, pour tout x [ 0 ; 1 2 [ : U ( x ) = 1 x .

    2. Pour tout x [ 1 2 ; + [ , montrer : ϕ x ( x ) 1 2 , puis : x U ( x ) 0 , et en déduire : U ( x ) = 4 + ( x + 1 ) 2 2 .

    1. Montrer que l'application U est continue sur [ 0 ; + [ .

    2. Etudier la dérivabilité de U sur [ 0 ; + [

    3. Montrer que la droite d'équation y = x 1 est asymptote à la courbe représentative de U .

    4. Tracer l'allure de la courbe représentative de U .

  6. On considère la suite réelle ( a n ) n définie par a 0 = 1 n , a n + 1 = U ( a n )

    1. Montrer : n , a n 1 2 .

    2. Montrer que la suite ( a n ) n est décroissante.

    3. En déduire que la suite ( a n ) n converge et montrer que sa limite est égale à 1 2 .

    4. Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que : | a n 1 2 | 10 6