Corrigé (ESC 97)

par Pierre Veuillez

  1. I 1 = 1 e x 2 ln ( x ) x

    Soit F ( x ) = ln ( x ) et g ( x ) = x 2 . . F est C 1 sur [ 1 , e ] et F ( x ) = 1 / x . g est continue sur [ 1 , e ] . G ( x ) = x 3 / 3 .

    D'où en intégrant par parties:

    1. ln ( x ) n + 1 ln ( x ) n = ln ( x ) n ( ln ( x ) 1 )

      si 1 x e alors comme ln est croissante sur ] 0 , + [ et que 1 et n en sont éléments, 0 = ln ( 1 ) ln ( x ) ln ( e ) = 1 . Donc ln ( x ) n 0 et ln ( x ) 1 0 d'où ln ( x ) n + 1 ln ( x ) n .

      Et comme x 2 0 alors x 2 ln ( x ) n + 1 x 2 ln ( x ) n .

      Enfin comme 1 e , 1 e x 2 ln ( x ) n + 1 x 1 e x 2 ln ( x ) n x .

      La suite ( I n ) n 1 est donc décroissante.

    2. Comme de plus 0 x 2 ln ( x ) n pour x [ 1 , e ] alors I n 0.

      I est donc une suite décroissante et minorée par 0 , donc convergente (et sa limite 0 )

    3. Soit f ( x ) = ln ( x ) x / e . f est dérivable sur [ 1 , e ] et f ( x ) = 1 x 1 e = e x e . x 0 .

      Donc f est croissante sur [ 1 , e ] . Et comme f ( e ) = 0 , f est négative sur [ 1 , e ] et 0 ln ( x ) x / e.

    4. Comme x x n est croissante sur [ 0 , + [ (pour n > 0 ) et que ln ( x ) et x / e en sont éléments, ln ( x ) n x n / e n et x 2 ln ( x ) n x n + 2 / e n

      Enfin, comme 1 e , 0 1 e x 2 ln ( x ) n x 1 e x n + 2 e n . x = [ x n + 3 ( n + 3 ) e n ] 1 e = e 3 ( n + 3 ) 1 ( n + 3 ) e n n + 0 Donc par encadrement lim n + I n = 0 .

    1. I n + 1 = 1 e x 2 ( ln x ) n + 1 x .

      Soit F ( x ) = ln ( x ) n + 1 et g ( x ) = x 2 . F est C 1 sur [ 1 , e ] et F ( x ) = ( n + 1 ) ln ( x ) n .

      g est continue sur [ 1 , e ] . G ( x ) = x 3 / 3 . D'où en intégrant par parties: I n + 1 = [ ln ( x ) n + 1 . x 3 / 3 ] e 1 e ( n + 1 ) x 3 ln ( x ) n 3. x x = e 3 3 ( n + 1 ) 3 . 1 e x 2 ln ( x ) n x = e 3 3 n + 1 3 I n . Donc I n + 1 = e 3 3 n + 1 3 I n .

    2. On en déduit que n . I n = ( e 3 3 I n + 1 ) 3. n n + 1 = ( e 3 3 I n + 1 ) 3. n n ( 1 + 1 / n ) et lim n + n . I n = e 3

(ESC 97)