Exercice I

Soit n un entier naturel non nul. On pose: I n = 1 e x 2 ln ( x ) n x .

  1. Calculer I 1 .

    1. Montrer que pour tout x [ 1 , e ] et n , ln ( x ) n + 1 ln ( x ) n .

      En déduire le sens de variation de la suite ( I n ) n 1 .

    2. Montrer que la suite ( I n ) n 1 est convergente.

    3. Montrer que pour tout x [ 1 , e ] : 0 ln ( x ) x / e .

    4. En déduire lim n + I n .

    1. Montrer que, pour tout entier naturel n 1 : I n + 1 = e 3 3 n + 1 3 I n .

    2. En déduire lim n + n . I n

(ESC 97)