(ESCP 92)
Pour tout entier naturel k on considère la fonction fk définie sur \mathbb R+ par la relation :

fk (x)= 0 1 tk e-tx dt

    1. Montrer que pour tout entier naturel k,la fonction fk est décroissante sur \Bbb R+
    2. Etudier la suite ( fk (0 ))k0 de nombres réels. En déduire, pour tout nombre réel positif x fixé la limite de la suite ( fk (x ))k0 .
    1. Soit x un nombre réel strictement positif.
      Etablir que
      fk+1 (x)= k+1 x fk (x)- e-x x

      pour tout k0.
    2. Expliciter les fonctions f0 , f1 et f2 .
    3. Montrer que, lorsque x tend vers +:
      f0 (x)~1/x.

    4. A l'aide de la relation établie au c) , montrer que pour tout k, lorsque x tend vers +:      
      fk (x)~ k! xk+1

    1. En effectuant un changement de variable, montrer que pour tout k\BbbN et tout réel x strictement positif:
      fk (x)= 1 xk+1 0 x uk e-u du

      En déduire que fk est dérivable sur ]0,+[ et calculer sa dérivée.
    2. Trouver une relation simple entre fk ' et fk+1 .
    3. Montrer que pour tout réel y positif ou nul:
      1- e-y y

      En déduire que pour tout entier naturel k, la fonction fk est continue en 0.
      Est-elle dérivable à droite en ce point?
(ESCP 92)



File translated from TEX by TTM, version 3.68.
On 11 Oct 2005, 22:22.