(ESCP 92)
Pour tout entier naturel
k
on considère la fonction
f
k
définie sur
\mathbb
R
+
par la relation :
f
k
(
x
)
=
∫
0
1
t
k
e
-
tx
dt
Montrer que pour tout entier naturel
k
,
la
fonction
f
k
est décroissante sur
\Bbb
R
+
Etudier la suite
(
f
k
(
0
))
k
≥
0
de nombres réels. En déduire, pour tout nombre réel positif
x
fixé la limite de la suite
(
f
k
(
x
))
k
≥
0
.
Soit
x
un nombre réel strictement positif.
Etablir que
f
k
+
1
(
x
)
=
k
+
1
x
f
k
(
x
)
-
e
-
x
x
pour tout
k
≥
0
.
Expliciter les fonctions
f
0
,
f
1
et
f
2
.
Montrer que, lorsque
x
tend vers
+
∞
:
f
0
(
x
)
~
1
/
x
.
A l'aide de la relation établie au
c
)
, montrer que pour tout
k
, lorsque
x
tend vers
+
∞
:
f
k
(
x
)
~
k
!
x
k
+
1
En effectuant un changement de variable, montrer que pour tout
k
∈
\Bbb
N
et tout réel
x
strictement positif:
f
k
(
x
)
=
1
x
k
+
1
∫
0
x
u
k
e
-
u
du
En déduire que
f
k
est dérivable sur
]
0
,
+
∞
[
et calculer sa dérivée.
Trouver une relation simple entre
f
k
'
et
f
k
+
1
.
Montrer que pour tout réel
y
positif ou nul:
1
-
e
-
y
≤
y
En déduire que pour tout entier naturel
k
,
la fonction
f
k
est continue en
0
.
Est-elle dérivable à droite en ce point?
(ESCP 92)
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On 11 Oct 2005, 22:22.